V0 的基．
将它扩充成V的基:{α1,α2 ,…,αs,αs+1, …,αn}． 由于 V 是σ的特征子空间，可设 0 σ(α1)=λ0α1,σ(α2)= λ0α2 , σ(αs)=λ0αs , σ(αs+1)=a1,s+1α1 + a2,s+1α 2+…+ an,s+1 αn …… …… σ(αn)=a1nα1+ a2nα2+…+ annαn .
定理6.5.1 设σ是数域F上n维线性空间V的线性 变换．σ可对角化的充分必要条件是：σ有n个 线性无关的特征向量．
前页 后页 返回
2. 线性变换可对角化的两个充分条件 定理6.5.2 设数域F上线性空间V有一个线性变 换σ,ξ1,ξ2 ,…,ξm分别是σ的属于互不相同的 特征根λ1,λ2, …,λm的特征向量, 那么, 向量ξ1, ξ2, …,ξm线性无关． 证 对m使用数学归纳法． 当m＝1, ξ1≠0,ξ1线性无关. 假设定理对于m-1(m＞1)个向量结论成立． 现设λ1,λ2,…,λm是σ的两两不同的特征根,
上面讨论了当A可对角化时, 如何求可逆矩阵T的 问题. 下面把判断A是否可对角化及可对角化时如 何计算T(T-1AT为对角形)的方法及步骤归纳如下: 1)求矩阵A的全部特征根. 如果这些根不全在F内, 那么A在F上不能对角化. 2)如果A的特征根都在F内, 那么对A的每个特征根 λ,求出齐次线性方程组
无关的. 把这n个特征向量Tij作为列, 按照λ1,λ2,
…,λn的相应顺序拼成一个可逆矩阵T, 于是
前页 后页 返回
1 AT T
2
n n
前页 后页 返回
即
1 T 1 AT
2
变换σ，由于fσ(x)的根1，1，-2均在R内，且 dimV1=2=1的重数，dimV-2=1=-2的重数，所以 σ可以对角化． 特征子空间V1的基是{-2α1+α2,α3 }，而特征子
空间V-2的基是{-α1+α2+α3 }．令
η1= -2α1+α2, η2=α3, η3=-α1+α2+α3,
{ η1, η2, η3}构成V的一个基，σ在这个基下的
前页 后页 返回
ξi是属于λi的特征向量，即 σ(ξi)=λiξi, i=1, 2, …, m． 若 a1ξ1+a2ξ2+…+am-1ξm-1+amξm , ai∈F 用λm乘(2)式两端，得 a1λmξ1+a2λmξ2+…+am-1λmξm-1+amλmξm (1) (2)
=0
(3)
对（2）式两端的向量用线性变换σ去作用，得
前页 后页 返回
a1λ1ξ1+a2λ2ξ2+…+am-1λm-1ξm-1+amλmξm =0 用（4）式减去（3）式得 (4)
a1(λ1-λm)ξ1+ a2(λ2-λm)ξ2+…
+ am-1(λm-1-λm)ξm-1 = 0
但ξ1,ξ2 ,…,ξm-1由归纳假设是线性无关的，
所以Ai(λi-λm)= 0，i=1, 2, …, m-1.
因此,αi= 0或者αi是σ的属于λi的特征向量．
如果α1,α2 ,…,αs不全为0, 不妨设α1,α2,…,αt
(t≤s)均不是零向量, 而其余的αj全是零向量.
由（5）式有α1+α2+…+αt＝0,
前页 后页 返回
即α1+α2+…+αt 线性相关. 这与定理6.5.2的结 论矛盾． 所以每个αi＝0, i＝1, 2, …, s. 即 ki1αi1+…+ k iri airi =0. i=1, 2, …, s.
前页 后页 返回
1 矩阵是 , 1 2
又因为
2 0 1 1 0 1 0 1 1
(η1,η2,η3)= (α1,α2,α3)
即
2 0 1 T 1 0 1 0 1 1
是由基｛α1，α2，α3｝到基｛η1，η2，η3｝
1 n
2
所以，σ可对角化．□
前页 后页 返回
这个推论的矩阵说法是：设A是数域F上的一个
n阶矩阵．如果A的特征多项式fA(x)在F内有n 个单根，那么A可以对角化． 如果数域F是复数域C，推论1可改为以下推论．
推论2
设σ是复数域C上n维线性空间V的一个
前页 后页 返回
…… ……
于是,σ在基{α1,α2,…,αs,αs+1,…,αn}下的 矩阵是
0 0 A 0 0 0 0 a1, s 1 a s , s 1 a s 1, s 1 an , s 1 a1. n a sn a s 1,n an ,n
前页 后页 返回
4. 线性变换对角化的方法和例子 由定理6.5.4和定理6.5.5可知，要把一个可对角
化的线性变换σ对角化，我们只需对σ的每个
特征根λi，求出Vλi的基，凑成空间V的由σ
的特征向量组成的基，σ在这样的一个基下
的矩阵就具有对角形式．
前页 后页 返回
例1
对6.4中例4的R上的三维线性空间V的线性
fσ(x)= fA(x)=|xI-A|=(x -λ0)sh(x)
前页 后页 返回
其中h(x)是A中右下角小块矩阵
a s 1, s 1 a s 1,n a an ,n n , s 1
的特征多项式．这样，λ0在fσ(x)中的重数不小
于s，即dimVλ0≤λ0的重数．□
前页 后页 返回
基下的矩阵为 1 1 t t
对角线上每个λi有xi个. 于是σ的特征多项式为
f ( x ) = ( x - 1 )r1 ( x - 2 )r2 ( x - t )rt
6.5 授课题目：6.5
可对角化的矩阵 可对角化的矩阵
授课时数：6学时
教学目标：掌握矩阵对角化的定义与方法
教学重点：矩阵对角化的方法
教学难点：矩阵对角化的方法
前页 后页 返回
一. 矩阵的可对角化与线性变换的可对角化 定义1 设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在
F上的一个可逆矩阵T，使T-1AT是对角矩阵， 就说A可以对角化． 由矩阵与线性变换的对应关系，类似地有： 定义2 设σ是数域F上n(n≥1)维线性空间V的
征根的重数的关系．
定理6.5.4
设σ是数域F上n维线性空间V的一个
线性变换.λ0是σ的一个特征根， V0 是σ的属于 特征根λ0的特征子空间. 那么dim V0≤λ0的重数， 其中λ0的重数指的是它作为fσ(x)的根的重数．
前页 后页 返回
证
设 dimV0 s ,{α1,α2 ,…,αs}是
线性无关．
前页 后页 返回
证
设 k11 a11 ... k1r1a1r1+k21a21+…+ k 2r2 a 2r2 +…+ k s1a s1+…+ k srsa srs =0. 即 α1+α2+…+αs＝0， (5)
其中αi = ki1αi1+…+
k iri airi ∈ Vi i=1, 2, …, s.
现在，我们可以来证明下面的定理了
前页 后页 返回
定理6.5.5
设σ是数域F上n维线性空间V的一个
线性变换,σ可对角化的充分必要条件是： 1）σ的特征多项式的根都在F内； 2）σ的每个特征根λ,dimVλ≤λ0的重数． 证 充分性．设σ的所以不同的特征根λ1,λ2, …,λt ,在特征多项式fσ(x)的重数分别是r1, r2 ,…,rt .由条件1)有 r1+r2+…+rt=n．
前页 后页 返回
的过渡矩阵．由定理6.3.4有
6 0 2 0 1 2 0 1 4 T 1 AT 1 0 1 3 5 0 1 0 1 0 1 1 3 6 1 0 1 1
线性变换．如果σ的特征多项式没有重根，那
么σ可对角化． 推论1给出了线性变换可对角化的一个充分非必
前页 后页 返回
要条件．对没有n个不同特征根的线性变换，要 判断它能否对角化，还需作进一步的讨论． 3. 线性变换可对角化的充要条件之二 定理6.5.3 如果λ1,λ2,…,λs 是线性变换σ的 s
个不同的特征根，而 ai 1 , …, airi 是σ的属于特征 根λi 的线性无关的特征向量, i = 1, 2, …, s. 那么, 向量组 a11 , …, a1r1 , a21 , …, a 2r2 , …, a , …, a srs s1
性变换．如果σ的特征多项式fσ(x)在F内有n个
不同的根，那么σ可对角化．
前页 后页 返回
证
若fσ(x)在F中有互不相同的n个特征根λ1,
λ2 ,…,λn , 对每个λi , 选取一个特征向量ξi ,
i =1, 2, …, n .ξ1,ξ2, …,ξn 线性无关, 构成V的
一个基. σ在这个基下的矩阵是对角矩阵
前页 后页 返回
因此λ1,λ2 ,…,λt是它的全部互异的特征根，
均属于数域F，且λi的重数是ri, i=1,2, …,t
又由于αi1,…, airi 线性无关，均是 V 的向量， i
从而有 dimV ri . i
另一方面，由定理6.5.4，又有 dimV ri . i 所以 dimV ri . i □