可对角化矩阵的应用 矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类，特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。

下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。

1.求方阵的高次幂
例设V 是数域P 上的一个二维线性空间，12,εε是一组基，线性变换σ在12,εε下的矩阵A =2110⎛⎫
⎪-⎝⎭
，试计算k
A 。

解：首先计算σ在V 的另一组基12,ηη下的矩阵，这里
()()121211,,12-⎛⎫
ηη=εε ⎪
-⎝⎭
，
且
σ
在
12
,ηη下的矩阵为
1
112
1112
12
11111121012111
01
2
1
----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫== ⎪ ⎪⎪
⎪⎪⎪ ⎪-----
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭显然
1
10
10
1k
k
⎛⎫⎛
⎫
= ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
，再利用上面得到的关系1
1121111112101201---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
我们可以得到
1
21111111111211
101201121201111k
k
k k k k k ----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪
------+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2.利用特征值求行列式的值。

例：设n 阶实对称矩阵2A =A 满足，且A 的秩为r ，试求行列式2E A -的值。

解：设AX=λX ，X ≠0，是对应特征值λ的特征向量，因
为2A A =，则22X X λE =AE =A =λ，从而有()20X
λ-λ=，因为X ≠0，
所以()1λλ-=0，即λ=1或0，又因为A 是实对称矩阵，所以A 相似于对角矩阵，A 的秩为r ，故存在可逆矩阵P ，使
1
00
0r
E P AP -⎛⎫=
⎪⎝⎭
=B ，其中
r
E 是r 阶单位矩阵，从而
1102220
2r n r n r
E E A PP PBP E B E -----=-=-=
=2
3由特征值与特征向量反求矩阵。

若矩阵A 可对角化，即存在可逆矩阵P 使，其中B 为对角矩阵，则
例 设3阶实对称矩阵A 的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A 。

解：因为A 是实对称矩阵，所以A 可以对角化，即A 由三个线性无关的特征向量，设对应于231λ=λ=的特征向量为
()
123,,T
P X X X =，它应与特征向量
1
P 正交，即
[]1123,00P P X X X =++=，该齐次方程组的基础解系为
()()
231,0,0,0,1,1T
T
P P ==-，它们即是对应于231λ=λ=的特征向量。

取
()123010100,,101,010101001P P P P B -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，则
1P A P
B -=，
于是1110
010*******
210101010
0011010011
1010022A PBP -⎛
⎫
⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪
⎪===- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭
4判断矩阵是否相似
例
下述矩阵是否相似123200*********,021,020*********A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
解：矩阵123,,A A A 的特征值都是12λ= (二重)，23λ=，其中
1A 已是对角阵，所以只需判断23,A A 是否可对角化，先考查2A ，
对于特征值1λ=2解齐次线性方程组()220E A X -=得其基础解系为()11,0,0T α=，由于1λ=2是2A 的二重特征值，却只对应于一个特征向量，故2A 不可对角化或者说2A 与1A 不相似。

再考查3A ，对于特征值1λ=2，解齐次线性方程组得基础解系，对于特征值解齐次线性方程组()320E A X -=，得基础解系()()121,0,0,0,1,0T T η=η=，对于23λ=特征值解齐次线性方程组()330E A X -=，得基础解系()31,0,1T η=，由于3A 有三个线性无关的特征向量，所以3A 可对角化，即3A 与1A 相似。

5求特殊矩阵的特征值
例 设A 为n 阶实对称矩阵，且22A A =，又()r A r n =<，
求（1）A 的全部特征值，（2）行列式E A -的值
解：（1）设λ为A 的任一特征值，ξ为A 的对应特征值
λ的特征向量，所以Aξ=λξ，有22A ξ=Aλξ=λξ，又因为22A A =，
所以2A ξ=2Aξ=2λξ，所以2λ=2λ，由此可得λ=2或0，因为A
是实对称矩阵，所以A
必能对角化即22
00⎛⎫
⎪
⎪ ⎪A ~B = ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，
且()r A r =，故2的个数为A 的秩数，即A 的特征值为r 个2及(n-r)个0
（2）因为由（1）可得A~B ，即存在可逆矩阵C ，使
得
1
C A
C
B
-=
，
故
有
1
A C
B C
-=
,
E A -=11E CBC C E B C E B
---=-=-()11111r -⎛⎫
⎪
⎪ ⎪-==- ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
6在向量空间中的应用
例 设是n 使维列向量空间，A 是n 阶复矩阵，α是任一复数，令(){}(){}12,W E A V W V E A =α-β|β∈=β∈|α-β=0，则若A 相似于对角阵，有{}120W W =
证明：对任意012X W W ∈ ，有()0X E A =α-β和()00E A X α-=所以()20E A α-β= 又因为A 相似于对角阵，有()00E A X α-=与()
2
E A α-β=的解空间相同，所以()20E A α-β=和()00X E A =α-β=，
所以{}120W W = 。

7在现行变换中的应用
例 设[]()1n P X n >为数域P 上次数小于n 多项式及零多项式
的全体，则微分变换τ在[]n P X 的任何一组基下的矩阵不是对角形。

证明：取[]n P X 的一组基()1,,2!1!
n X X n -1,X,- ，则τ在这组基下的
矩阵为1000n E -⎛⎫
⎪
⎝⎭
，所以n
λE-A =λ，若τ在某一组基下的矩阵B 为
对角矩阵，由~A B 知A 可对角化，存在可逆矩阵T 使得
1T AT B -=，所以1A TBT -=，由τ的全为零知
B=0，所以A=0，这
不可能，所以微分变换τ在[]n P X 的任何一组基下的矩阵都不是对角阵。