1+3+„+(2n－1)=n2．
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
探索新知
火星上是否有生命？
我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫 的牙齿,发明了锯；人们仿照鱼类的外型和它 们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇. 仿生学中许多发明的最初构想 都是类比生物机制得到的.
练习2：类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3 和 1个“斜面” S
思考：这个结论是正确的吗？
例如： 磨擦双手（S ）能产生热（P）， 敲击石头（S ）能产生热（P） ， 锤击铁块（S ）能产生热（P） ， 磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动； 所以，物质运动能产生热。
1
2 3
例:观察下图,可以发现 1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52 ， „„
等差数列 中项
等比数列
任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才 差中项 ，为 a b 有等比中项 ，为 ab
2
下标等差,项等差 n+m=p+q时, am+an= ap+aq
性质
下标等差,项等比 n+m=p+q时, aman= apaq
an am 2a n m
2
an am a
内容结构
“推理与证明”是数学的基本思维过程， 也是人们学习和生活中经常使用的思维方 式．推理一般包括合情推理和演绎推理．在本 章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步 体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系 与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明 的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、 综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如 反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活 中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
苍蝇的楫翅（又叫平衡棒）是“天然导航仪”， 人们模仿它制成了“振动陀螺仪”.这种仪器目前已 经应用在火箭和高速飞机上，实现了自动驾驶。 苍蝇的眼睛是一种“复眼”，由3000多只小眼 组成，人们模仿它制成了“蝇眼透镜” ，一次就能 照出千百张相同的相片。
2.1.1合情推理
——类比推理
球与圆在都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于 定长的点的集合.类比圆的性质，球会有怎样的性质呢？
归纳推理的定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推
出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,
或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为
归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别
到一般的推理。
例如： 金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀， 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热 后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此 距离加大，从而导致体积膨胀 所以，所有的金属受热后都体积膨胀。
利用圆的性质类比得出球的性质 球的概念和性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦 球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与截面(不过球心的圆面) 的圆心的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
成等比数列
2 n m 2
Sm , S2m Sm , S3m S2m Sm , S2m Sm , S3m S2m
成等差数列
例2、类比平面内的三角形的性质猜想 空间中的四面体(三棱锥)的性质
在ABC中，c a cos B b cos A.
在四面体A BCD中， 记二面角A BC D、A CD B、A BD C 的平面角分别为 、、，则 S BCD S ABC cos S ACD cos S ABD cos .
一、类比推理的概念
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征，推出另一 类对象也具有这些特征的推理称为类 比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
例1、利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列 定义 等比数列
an an1 d（n 2)
an : an1 q （n 2)
归纳推理
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3， 8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11，…， 1 000＝29+971，…
⑴ 一个偶数（不小于6）总可以表示成两个 奇质数之和； ⑵ 没有发现反例 。
an a1 (n 1)d
通项公式
an a1q n1
an am (n m)d
an am q
n m
n(a1 an ) na ( q 1) 1 Sn 2 n S 前n项和 a1 (1 q ) n n( n 1) (q 1) na1 d 1 q 2
例3、类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质
分析：实数的加法和乘法都是两个数参与的运算，都满足一定的 运算律，都存在逆运算，而且“0”和“1”分别在加法和乘法中占 有特殊的地位，所以可从这4方面进行类比。
类比角度 运算结果 实数的加法 实数的乘法
若a, b R，则a b R 若a, b R，则ab R