华北电力大学（保定）2009年硕士研究生入学考试试题1. 计算（1） n 阶行列式0 (01)0...00.....00.010.0a a a a；（2）1001111-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2. 设123,,,...,l a a a a 是方程组AX b =的解。

试证112233...l l k a k a k a k a ++++（其中，123...1l k k k k ++++=）也是方程组AX b =的解。

3. 设线性变换ϕ在基1234,,,a a a a 下的矩阵表示为1201301225311213A -=,求ϕ在基 1121231234,,,a a a a a a a a a a ++++++下的矩阵表示。

4.设12,,L L L 分别为所有n 阶方阵、所有n 阶对称方阵、所有n 阶反对称（斜对称）方阵成的线性空间，证明： （1）12,L L 均为线性空间L 的子空间； （2）12L L L =⊕（L 是12,L L 的直和）； （3）分别求出12,,L L L 的一组基和维数。

5．设111212103A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，12(1,1,1),(0,1,2)T Tαα==,1V 是12,αα张成的3R 的子空间，定义线性映射31:V R ϕ→,其中()x Ax ϕ=。

（1）求ϕ在1V 的基12,αα和3R 的基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T T e e e ===下的矩阵表示B;(2)求ϕ在1V 的基1212,αααα+-和3R 的基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),T T Te e e ===下的矩阵表示B;(3)求ϕ的象，核及他们的维数。

6. 设A 是n 阶方阵，I 为单位矩阵，已知2550A A I -+=.试证（1）2A I -是可逆矩阵；（2）求满足方程1(2)55AX A I A I X -+-=+的X.7. 已知5432()41048f x x x x x x =++--+，求()f x 的因式分解式。

8. 设方阵A 与B 可交换且均相似于对角矩阵，则他们可以同时对角化（存在可逆方阵P 使得11,P AP P BP --同为对角形）华北电力大学2008年硕士研究生入学考试试题一 完成下列各题1. 设A 是正交矩阵，则det(A)= ;A 的特征值= 。

2. 矩阵412946935A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的初等因子组为 ，若当标准形为 。

3. 向量组12345(1,2,3,4),(2,4,6,8),(1,4,1,2),(3,9,3,3),(0,1,2,3)ααααα=--=--=--=--=-生成的线性子空间12345(,,,,)L ααααα的一个基是 ，维数是 。

4.向量(1,1,1,1),(1,2,4,3)αβ==-的内积(,)αβ= ，夹角的余弦cos(,)αβ= 。

二 判断下列方程组的解的存在性，有解时求出其解。

12341234123443231431x x x x x x x x x x x x λ+-+=⎧⎪+--=⎨⎪+--=⎩ 三1. 验证向量：12(1,1,0),(1,0,1)αα==线性无关；2. 求出3R 的一个向量3α，使它和以上两个向量一起构成3R 的一个基；3. 从12,αα出发构造3R 的一组标准正交基123,,βββ；4. 写出123,,ααα到123,,βββ的变换矩阵。

四.求一个正交变换，把下列二次型转化为标准型。

322212312121332(,,)4424f x x x x x x x x x x x x =+++++五1. 求方程43235520x x x x +++-=的所有有理根；2. 试隔离方程3()210f x x x ≡-+=的实根。

六 设矩阵111.(,,)111c s J i k s cθ-=i k其中，cos(),sin()c s θθ==，矩阵(,,)J i k θ中没有标出的元素均为零。

1. 证明(,,)J i k θ为正交矩阵。

2. 证明：任意的n x R ∈,存在(,,J i k θ使(,,)y J i k x θ=，其中0,j jj iy j k x j i k ===⎨⎪≠⎪⎩。

3.设112222011A ⎡⎤⎢⎥⎥⎥=⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，利用(,,)J i k θ的性质求证正交矩阵Q 和上三角矩阵R使A=QR 。

4. 设A=QR ，B=RQ,Q 和R 如上所述，证明A 与B 相似。

华北电力大学2007年研究生入学试题1. 计算下列行列式（1）1102334620331247- （2）311113111113n D =2.求一个正交变换，把二次型322212312121332(,,)2422f x x x x x x x x x x x x =+++++化为标准型。

3.列方程组的通解12412341234123420321231431x x x x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-+=⎪⎨+--=⎪⎪+--=⎩ 4. 设123,,,...,n a a a a 是互不相同的数，令211111(1,,,)n a a a a -= ，212222(1,,,)n a a a a -= ， ，21(1,,,)n n n n n a a a a -= 证明：任意n 维向量可以由123,,,...,n a a a a 线性表示。

5. 设A 是n 阶方阵，f(x)是复系数多项式，证明：如果A 的全部特征值为12,,...,n λλλ，则f(A)的全部特征值为12(),(),...,()n f f f λλλ。

6. 设f(x)是代数多项式，a 是()f x '''的一个k 重根，证明：a 是()[()()]()()2x ag x f x f a f x f a -''=+-+的一个k+3重根。

7. 设T 是欧几里得空间V 的一个变换。

证明:如果T 保持内积不变，即任意的,V αβ∈,(,)(,)T T αβαβ=,那么T 一定是正交变换。

8. 设A ，B 为两个n 阶方阵，证明：AX=B 有解的充要条件是rank(A)=rank(A B).注：(A B)是由矩阵A ，B 构成的增广矩阵。

9. 设2A A =，证明I+A 可逆，并求1()I A -+。

注I 为单位矩阵。

10.证明：秩等于r 的对称矩阵可以表示为r 个秩等于1的对称矩阵之和。

华北电力大学2005年硕士研究生入学试题1. 用g(x)除f(x)，求商q(x)和余式r （x ）:32()31f x x x x =---，2()321g x x x =-+2. 给出一个实数域R 上的线性空间V 的实例，并在V 上定义一个内积使其成为欧几里得空间。

3. 已知多项式32()(1)102f x x ix i x i =++---有实根，求f(x)的全部根。

4. 证明方程组121232343454515x x a x x a x x a x x ax x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩ 有解的充要条件是123450ααααα++++=，并在有解的情况下求出它的一般解。

5. 求由向量1234(2,1,3,1),(1,2,0,1),(1,1,3,0),(1,1,1,1)T T T Ta a a a ===--=生成的子空间的基和维数。

6. 设142034043A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求k A 。

7. 设方阵A 、B 是两个n 阶实对称矩阵，且B 是正定矩阵，证明存在n 阶实可逆矩阵P 使得,T T P AP P BP 同为对角矩阵。

华北电力大学2004年硕士研究生入学考试试题一填空题1.设43()244f x x x x =+--，432()242g x x x x x =+---，则（f(x),g(x)）= 。

2.矩阵836320422A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的若当标准型为 。

3.设1578111120963437D --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦,则41424344A A A A +++= ，这里的4j A 为元素4j a 的代数余子式。

4. 在3R 中定义的线性变换1231223(,,)(2,,)x x x x x x x xΛ=-+，在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)e e e ===下的矩阵为 。

5.在线性空间5[]P x 中，令(())()D f x f x ''=，则D 的值域是 ，核是 。

6.如果向量,,αβγ满足1230c c c αβγ++=并且130c c ≠。

则(,)L αβ与(,)L βγ的关系7.在[]P x 中定义(())()A f x f x '=,(())()B f x xf x =,则AB BA -= 。

8.如n 阶方阵2A A =，则A 的特征值为 。

9.设矩阵P 可逆，则R （A ）与1()R AP -的关系是 。

10.设可逆矩阵A 的元素均为整数，则1A -的元素均为整数的充要条件为A = 。

二计算题求121212n n n n x m x x xx m x D x x x m -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的值。

三计算题 求向量1234(1,1,2,2,1),(0,2,1,5,1),(2,0,3,1,3),(1,1,0,4,1)a a a a ==-=-=-的秩及一个最大无关组 。

四计算题设1000010000100001E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1100011000110001B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,2134021300210002C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求矩阵A 满足关系式1()A E C B C E -''-=,求A 。

五计算题 设3R 的两组基为（1）123(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)T T T ααα===；（2）123(1,0,1),(0,1,1),(1,2,0)T T T βββ==-=，求123,,ααα到123,,βββ的过度矩阵Q ，并求(1,2,1)ε'=-在基123,,βββ下的坐标。

六计算题 讨论λ取何值时线性方程组123123123(3)2(1)3(1)(3)3x x x x x x x x x λλλλλλλλ+++=⎧⎪+-+=⎨⎪++++=⎩无解，有解，有唯一解。

七计算题 用正交变换化下列二次型为标准型，并写出所用的正交变换32221231232(,,)4332f x x x x x x x x =+++八证明题（1） 已知123,,ααα是一个齐次线性方程组的基础解系，证明：123231,,αααααα+++也是该齐次线性方程组的一个基础解系。