沪科版七年级数学第一章知识点复习以及例题讲解
1、平方根
（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。

来表示，（读做“根号a”）
对于正数a
负的平方根用”表示（读做“负根号a” ）
如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。

（2）平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根.
（3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a”。

（50有意义的条件是a≥0。

（6）公式：⑴)2=a（a≥0）；
2、立方根
（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。

即X3=a,把X叫做a的立方根。

数a的立方根用符号”表示，读作“三次根号a”。

（2）立方根的性质：
正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.
3、规律总结
（1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

（2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

二、平方根、立方根例题。

例1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由
①（-3）2②0 2③-0.01 2
（2）下列说法对不对？为什么？
①4有一个平方根②只有正数有平方根
③ 任何数都有平方根
④ 若 a ＞0，a 有两个平方根，它们互为相反数
解：（1） （-3）2 和0 2有平方根，因为（-3）2 和0 2是非负数。

- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。

（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

例2、求下列各数的平方根： (1) 9 (2) (3) 0.36 (4)
例3、设，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
14169
C. D.
解析：（估算）因为，所以选B
举一反三：
【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3）___________，
___________，
___________.
【答案】1）；
.2）-3. 3），
，
【变式2】求下列各式中的
（1）（2）
（3）
【答案】（1）（2）x=4或x=-2
（3）x=-4
例4、判断下列说法是否正确
（1）的算术平方根是-3；（2）
的平方根是±15.
（3）当x=0或2时，
解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
（2）表示225的算术平方根，即
=15.实际上，本题是求15的平方根，
故的平方根是
.
（3）注意到，当x=0时，
=
，显然此式无意义，发生错误的原因是
忽视了“负数没有平方根”，故x ≠0，所以当x =2时，
x =0.
例5、求下例各式的值： （1） （2） （3） （4）
三、实数知识复习。

1、实数的分类
无理数：无限不循环的小数称为无理数。

2、绝对值
(1)一个正数的绝对值是它本身，
一个负数的绝对值是它的相反数， 零的绝对值是零。

(2)一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。

（3）注意：
32736427 327102 64
-64-30
00
a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>==00
00
2
a a a a a a a
例6、当a<0时，化简的结果是( )
A 0
B -1
C 1
D ½
例7、化简下列各式：
(1)
|-1.4
|(2) |π-3.142|
(3)
|-
|
分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

解：(1) ∵=1.414…＜
1.4
∴
|-1.4
|=1.4
-
(2) ∵π=3.14159…＜3.142
∴|π-3.142|=3.142-π
(3) ∵＜
, ∴|-
|=
-【变式1】化简：
3、有关实数的非负性
注意：(1)任何非负数的和仍是非负数；
(2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0.
例8、已知(x-6)2+
+|y+2z|=0，求(x-y)3-z 3的值。

解：∵(x-6)2++|y+2z|=0
a 20≥0
a 0(0)
a ≥
且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0, 几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。

∴解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式2】已知那么a+b-c的值为
___________
4、实数比较大小的方法
1、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：
2≈___________3≈___________5≈___________6≈___________
7≈___________
2、方法一：差值比较法
差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a-b﹥0时，得到a﹥b。

当a-b﹤0时，得到a﹤b。

当a-b＝0，得到a=b。

3、方法二：商值比较法
商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。

当b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当b
a =1时，a=
b 。

来比较a 与b 的大小。

4、方法三：平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

5、方法四：估算法
估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

选择适当的方法比较下列数的大小。

（1）比较1-2与1-3的大小。

（2）比较83
13-与8
1的大小。

（3）比较27与33的大小 （4）当10ππx 时，2x ，x ，x
1的大小顺序是______________。

（1）解 ∵（1-2）-（1-3）=23-＞0 ， ∴1-2＞1-3。

（2）解：∵3＜13＜4 ∴13-3＜1 ∴8313-＜8
1 （3）解：∵27=722•=28，33=332•=27。

又∵28＞27， ∴27＞33。

（4）解：取x =21，则：2x =41，x
1=2。

∵41＜21＜2，∴2x ＜x ＜x
1。