《二元一次方程组的应用》典型例题
例1 小明家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年高15％，支出比去年低10％，求去年的收入与支出各是多少？
例2 要配制成浓度为30％的烧碱溶液50千克，需要浓度为10％和60％的两种烧碱溶液多少千克？
例3 一辆汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶，由于行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车由甲地到乙地需用2小时30分，而从乙地回到甲地需用2小时18分.若汽车在平地上的速度为30千米/时，上坡的速度为20千米/时，下坡的速度为40千米/时，求从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？
例4 某中学初三（1）班计划用66元钱同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲、乙、丙三种纪念品，奖励参加艺术节活动的同学，已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件，而购买甲种纪念品的件数不少于10件，且购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半.若购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，那么可有几种购买方案？每种方案中，购买的甲、乙、丙三种纪念品各是多少件？
例5 某工程队计划在695米线路上分别装25.8米和25.6米长两种规格的水管共100根，问这两种水管各需多少根？
例6 若甲、乙两库共存粮95吨，现从甲库运出存粮的3
2，从乙库运出存粮的40%，那么乙库所余粮食是甲库的2倍，问甲、乙两库原各存多少吨粮食？
例7 甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行.如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人的速度.
例8 通讯员在规定的时间内由A地前往B地.如果他每小时走35公里，那么他就要迟到2小时；如果他每小时走50公里，那么他就可以比规定时间早到1小时，求A、B两地间的距离.
例9 某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套（一个螺钉配一个螺母）时就可以运进库房.若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名.问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房？
例10要修一段420千米长的公路.甲工程队先干2天乙工程队加入，两队再合干2天完成任务；如果乙队先干2天，甲、乙两队再合干3天完成任务，问甲、乙两个工程队每天各能修路多少千米？
例11甲乙两物体分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度较快，当两物体反向运动时，每15秒钟相遇一次，当两物体同向运动时，每1分钟相遇一次，求各物体的速度？
参考答案
例1 分析 若设去年收收x 元，支出y 元，则可由去年结余5000元，今年结余9500元这两个条件列出两个方程.
解 设去年收入x 元，支出y 元，根据题意，得
⎩
⎨⎧=--+=-)2( .9500%)101(%)151()1( ,5000y x y x 解得⎩⎨⎧==.
15000,20000y x 答：去年小明家收入20000元，支出15000元.
例2 分析 本题中要抓住两个数量关系，一是两种烧碱溶液重量和为50千克，二是10％和60％的烧碱溶液中纯烧碱的量的和等于50千克30％的烧碱溶液中的纯烧碱量.
解 设需要浓度为10％的烧碱溶液x 千克，浓度为60％的烧碱溶液y 千克，
根据题意，得 ⎩⎨⎧+=+=+)2(
).%(30%60%10)1( ,50y x y x y x 解得 ⎩
⎨⎧==.20,30y x 答：需要浓度为10％的烧碱溶液30千克，浓度为60％的烧碱溶液20千克.
例3 解 设甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，则平路为)70(y x --千米， 根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++=--++.3.2307020
40,5.230704020y x y x y x y x
解得 ⎩
⎨⎧==,4,12y x 则.5470=--y x 答：从甲地到乙地上坡路12千米，下坡路4千米，平路54千米.
例4 分析 可设购买甲、乙、丙三种纪念品的件数分别为x 、y 、z .在题目中有两个相等关系：“购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件”，“购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱”.根据这两个相等关系可以列出两个关于x 、y 、z 的方程.但这里有三个未知数，只列出了两个方程是无法求出它们的解的，注意到题目中还有两个限制条件：“购买甲种纪念品的件数不少于10件”，“购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半”.有了这两个条件，就确定了x 的取值范围，而x 必为正整数，因此可求出x 的值，从而求出另外两个求知数.
解 设购买的甲、乙、丙三种纪念品的件数分别为x 、y 、z ，根据题意，有 ⎩⎨⎧+==++.2,6623x y z y x 则⎩
⎨⎧-=+=.562,2x z x y ∵ 10≥x ，且2
663≤x ，∴ 1110≤≤x ，又∵ x 为整数，∴ 10=x 或11=x . （1）当10=x 时，;121056212210=⨯-==+=z y ，
（2）当11=x 时，.71156213211=⨯-==+=z y ，
答：可有两种购买方案：第一种方案：购买甲种纪念品10件、乙种12件、丙种12件；第二种方案：购买甲种纪念品11件、乙种13件、丙种7件.
例 5 分析 本题中有两个未知数——规格为25.8米长水管的根数与规格为
25.6米长水管的根数.题目中恰有两个相等关系：
（1） 25.8米长的水管根数十25.6米长水管根数=100根
（2） 25.8米长水管总米数十25.6米长水管的总米数=线路的总米数 解 设25.8米长规格的水管需x 根，25.6米长规格的水管y 根，
根据题意，得⎩⎨⎧=+=+695
25.625.8100y x y x 解这个方程组，得⎩
⎨⎧==6535y x 答：需规格为25.8米长的水管35根，需规格为25.6米长的水管65根.
说明：在实际生活中，我们常常遇到象例1这样的问题，我给出的解法是列出二元一次方程组求解.同学们想一想，还有没有其他的方法？能不能列出一元
一次方程来解呢？如果能，比较两者的不同，看一看哪种方法简单？然后自己归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤.
例6 分析 本题有两个未知数——甲仓库原存粮与乙库原存粮；有两个相等关系：
（1）甲仓库原存粮吨数＋乙仓库原存粮吨数=95吨
（2）乙仓库剩余粮食吨数=2倍甲库剩余粮食吨数
解 设甲仓库原存粮食x 吨，乙仓库原存粮食y 吨， 根据题意，得⎪⎩
⎪⎨⎧-=-=+x y y x )321(2%)401(95 解这个方程组，得 ⎩⎨⎧==40
45y x 答：甲仓库原存粮食45吨，乙仓库原存粮食50吨.
例7 分析 这里有两个未知数——甲、乙两人的速度.有两个相等关系：
（1）甲先走2小时的行程+甲乙在2.5小时内走的行程=36千米
（2）甲乙3小时走的行程+乙在2小时内走的行程=36千米
解 设甲的速度为x 千米/小时，乙的速度为y 千米/小时，
根据题意，得⎩⎨⎧=+=+36
53365.25.4y x y x 解方程组，得 ⎩
⎨⎧==6.36y x 答：甲的速度为6千米/小时，乙的速度为3.6千米/小时.
例8 分析 这里有两个未知数——规定时间和A 、B 两地间距离.有两个相等关系：
（1）员速度以35公里/小时走完全程用的时间－2小时=规定时间
（2）通讯员速度为50公里/小时走完全程用的时间+1小时=规定时间
解 设A 、B 两地间的距离为x 公里，规定时间为y 小时.
根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-y x y x 150
235
解方程组，得 ⎩
⎨⎧==8350y x 答：A 、B 两地间的距离为350公里.
例9 分析 这里有两个未知数——生产螺钉的人数和生产螺母的人数.有两个相等关系：
（1）生产螺钉的人数＋生产螺母的人数=总人数（81名）
（2）每天生产的螺钉数=每天生产的螺母数
解 设生产螺钉的工人有x 名，生产螺母的工人有y 名，
根据题意，得⎩
⎨⎧==+y x y x 9612081 解方程组，得 ⎩⎨⎧==45
36y x 答：生产螺钉的工人有36名，有45名工人生产螺母，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房.
例10 分析 这里有两个未知数——甲工程队每天修路的千米数和乙工程队每天修路的千米数；有两个相等关系：
（1）甲2天修路的长＋甲、乙合修2天的公路长=公路总长
（2）乙2天修路的长＋甲、乙合修3天的公路长=公路总长
解 设甲每天修公路x 千米，乙每天修公路y 千米，
根据题意，得 ⎩
⎨⎧=++=++420)(32420)(22y x y y x x 解方程组，得 ⎩
⎨⎧==3090y x 答：甲每天修公路90千米，乙每天修公路30千米.
例11 分析 题中有两个未知数，即甲乙两物体速度，题中“每15秒相遇一次”就是15秒两物体经过路程之和是600米，“每分钟相遇一次”就是60秒甲物体要比乙物体多运动一周，故有两个等量关系.
解 设甲物体速度为x 米／秒，乙物体为y 米／秒.
根据题意得解得⎩
⎨⎧=-=+,60060606001515y x y x 解得⎩⎨⎧==.
1525y x 答：甲乙两物体速度为25米／秒，15米／秒.
说明：解此题关键是找出甲、乙两物体同向、反向运动路程之间的相等关系，必要时可画出两物体运动的轨迹示意图，帮助找相等关系.。