力的合成与分解【典型例题】类型一、求合力的取值范围例1、物体同时受到同一平面内的三个共点力的作用,下列几组力的合力不可能为零的是( )A.5 N,7 N,8 NB.5 N,2 N,3 NC.1 N,5 N,10 ND.10 N,10 N,10 N【答案】C【解析】分析A､B､C､D各组力中,前两力合力范围分别是:2 N≤F合≤12 N,第三力在其范围之内:3 N≤F合≤7 N,第三力在其合力范围之内;4 N≤F合≤6 N,第三力不在其合力范围之内;0≤F合≤20 N,第三力在其合力范围之内,故只有C中第三力不在前两力合力范围之内,C中的三力合力不可能为零.【点评】共点的三个力的合力大小范围分析方法是:这三个力方向相同时合力最大,最大值等于这三个力大小之和;若这三个力中某一个力处在另外两个力的合力范围中,则这三个力的合力最小值是零.举一反三【变式】一个物体受三个共点力的作用，它们的大小分别为F1＝7 N、F2＝8 N、F3＝9 N．求它们的合力的取值范围？【答案】0≤F≤24 N类型二、求合力的大小与方向例2、如图所示，物体受到大小相等的两个拉力作用，每个拉力都是20 N，夹角是60°，求这两个力的合力．【解析】本题给出的两个力大小相等，夹角为60°，所以可以通过作图和计算两种方法计算合力的大小．解法1(作图法)：取5 mm长线段表示5 N，作出平行四边形如图甲所示，量得对角线长为35 mm.合力F大小为35 N，合力的方向沿F1、F2夹角的平分线．解法2(计算法)：由于两个力大小相等，所以作出的平行四边形是菱形，可用计算法求得合力F，如图乙所示，【点评】力的合成方法有“作图法”和“计算法”，两种解法各有千秋.“作图法”形象直观，一目了然，但不够精确，误差大；“计算法”是先作图，再解三角形，似乎比较麻烦，但计算结果更准确.【高清课程：力的合成与分解例2】例3、如左图在正六边形顶点A分别施以F1～F55个共点力，其中F3=10N，A点所受合力为；如图，在A 点依次施以1N～6N，共6个共点力．且相邻两力之间夹角为600，则A点所合力为。
【答案】30N ，方向与F 3相同；6N【解析】对于左图，依据正六边形的性质及力的三角形作图法，不难看出，1F 、3F 、4F 可以组成一个封闭三角形，即可求得1F 和4F 的合力必与3F 相同。
同理可求得2F ,5F 的合力也与3F 相同。
所求五个力的合力就等效为三个共点同向的3F 的合力，即所求五个力的合力大小为30 N ，方向沿3F 的方向（合力与合成顺序无关）。
对于右图，先将同一直线上的三对力进行合成,可得三个合力均为3 N,故总合力为6N.【点评】巧用物理概念、物理规律和物理方法做出平行四边形去分析、研究、推理和论证，合理地选择合成的顺序就使解题思路过程变得极为简单明了、巧妙而富有创意。
类型三、按力的实际作用效果分解力例4、如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球，分别用光滑挡板A 、B 挡柱，挡板A 沿竖直方向．挡板B 垂直于斜面，则两挡板受到小球压力的大小之比为__________，斜面受到两个小球压力大小之比为__________.【答案】1cos θ 21cos θ【解析】本题考查的是如何根据实际效果分解重力，应注意球与接触面间作用力的特点． 球1重力分解如图甲所示，1tan F G θ＝，2cos GF θ＝； 球2重力分解如图乙所示，1sin F G θ'＝，2cos F G θ'＝.所以，挡板A 、B 所受压力之比：11tan 1sin cos F G F G θθθ=='斜面受两球压力之比：2221cos cos cos GF FG θθθ==' 【点评】(1)弹力的方向一定与接触面或接触点的切面垂直.(2)力产生的作用效果是进行力的分解的重要依据，根据作用效果先判断分力的方向，再用平行四边形定则求解. 举一反三【变式】质量为m 的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上,其重力产生两个效果:一是使球压紧竖直墙壁的分力F 1,二是使球拉紧悬线的分力F 2.则：1F mgtan α=,2F cos mgα=题型四、正交分解法的应用例5、质量为m 的木块，在与水平夹角为θ的推力F 作用下，沿水平地面做匀速运动，如图所示．已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力应为 ( )A ．μmgB ．μ(mg ＋F sin θ)C ．μ(mg －F sin θ)D ．F cos θ 【答案】BD【解析】木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg 、支持力F N 、摩擦力F f 、推力F ，建立如图所示的坐标系，因木块做匀速运动，所有：F cos θ＝F f F N ＝mg ＋F sin θ又∵F f ＝μF N∴F f ＝μ(mg ＋F sin θ)，故BD 答案是正确的．【评价】在对实际问题的求解中，可以用合成法，也可以用分解法，还可以用正交分解法，要善于根据题目要求，灵活选择解题方法,一般来说，在研究多个共点力作用的力学问题时，选用正交分解法比较方便. 举一反三【变式1】如图所示，质量为m 的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为 ( )【答案】A类型五、力的合成与分解的实际应用例6、如图所示,质量为m 的物体用细绳OC 悬挂在支架上的O 点,轻杆OB 可绕B 点转动,求细绳OA 中张力F 的大小和轻杆OB 受力N 的大小.【答案】 F sin mgθ=N mgcot θ=【解析】由于悬挂物的质量为m,绳OC 拉力的大小为mg,而轻杆能绕B 点转动,所以轻杆在O 点所受的压力N 将沿杆的方向(如果不沿杆的方向杆就要转动),将绳OC 的拉力沿杆和OA 方向分解,可求得F sin mgθ=,N mgcot θ=. 【点评】在物体平衡中,有些题目是相似的,但实质是完全不同的,如审题时不认真,盲目地用相同的方法去求解就会出错,对于固定轻杆与转动轻杆来说,转动轻杆产生的弹力一定沿杆的方向,如果不沿杆的方向时就要转动;而固定轻杆产生的弹力不一定沿杆的方向,因为杆不可转动. 举一反三【高清课程：力的合成与分解 例4】【变式】求图中两种情况下，轻绳的拉力T 和轻杆中的弹力N 。
【答案】（1）4533mgmgN T ==（2）N mg T mg ==【巩固练习】 一、选择题：1．有两个共点力，F 1＝2 N ，F 2＝4 N ，它们合力F 的大小可能是( )A ．1 NB ．5 NC ．7 ND ．9 N2．王飞同学练习单杠时，两臂平行握住单杠，在他两臂逐渐分开的过程中，手臂的拉力( )A ．逐渐变大B ．逐渐变小C ．先变小，后变大D ．先变大，后再变小3．F 1、F 2合力方向竖直向下，若保持F 1的大小和方向都不变，保持F 2的大小不变，而将F 2的方向在竖直平面内转过60°角，合力的方向仍竖直向下，下列说法正确的是( )A ．F 1一定大于F 2B ．F 1可能小于F 2C ．F 2的方向与水平面成30°角D ．F 1方向与F 2的方向成60°角4．我国自行设计建造的世界第二斜拉索桥——上海南浦大桥，桥面高46 m ，主桥全长845 m ，引桥全长7500 m ，引桥建得这样长的目的是( )A ．增大汽车上桥时的牵引力B ．减小汽车上桥时的牵引力C ．增大汽车的重力平行于引桥桥面向下的分力D ．减小汽车的重力平行于引桥桥面向下的分力5．如图甲为杂技表演的安全网示意图，网绳的结构为正方格形，O 、a 、b 、c 、d ……为网绳的结点，安全网水平张紧后，若质量为m 的运动员从高处落下，并恰好落在O 点上，该处下凹至最低点时，网绳dOe ，bOg 均成120°向上的张角，如图乙所示，此时O 点受到的向下的冲击力大小为F ，则这时O 点周围每根网绳承受的力的大小为( )A ．FB.2F C ．F ＋mg D.2F mg6．如图所示，两根轻绳AO 与BO 所能承受的最大拉力大小相同，轻绳长度AO <BO ，若把所吊电灯的重力逐渐增大，则( )A ．AO 绳先被拉断B ．BO 绳先被拉断C ．AO 绳和BO 绳同时被拉断D ．条件不足，无法判断7．人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船，如图所示，若水的阻力恒定不变，则在船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是( )A ．绳的拉力不断增大B ．绳的拉力保持不变C ．船受到的浮力保持不变D ．船受到的浮力不断减小8．如图所示，一个物体由绕过定滑轮的绳拉着，分别用图中所示的三种情况拉住．在这三种情况下，若绳的张力分别为F T1、F T2、F T3，轴心对定滑轮的支持力分别为F N1、F N2、F N3，滑轮的摩擦、质量均不计，则( )A．F T1＝F T2＝F T3，F N1>F N2>F N3B．F T1>F T2>F T3，F N1＝F N2＝F N3C．F T1＝F T2＝F T3，F N1＝F N2＝F N3D．F T1<F T2<F T3，F N1<F N2<F N3二、计算题1．如图所示，能承受最大拉力为10 N的细线OA与竖直方向成45°角，能承受最大拉力为5 N的细线OB水平，细线OC能承受足够的拉力，为使OA、OB均不被拉断，OC下端所悬挂物体的最大重力是多少？2．如图为曲柄压榨机结构示意图，A处作用一水平力F，OB是竖直线．若杆和活塞重力不计，两杆AO与AB的长度相同；当OB的尺寸为200，A到OB的距离为10时，求货物M在此时所受压力为多少？3．在医院里常用如图所示装置对小腿受伤的病人进行牵引治疗．不计滑轮组的摩擦和绳子的质量，绳子下端所挂重物的质量是5 kg，问：(1)病人的腿所受水平方向的牵引力是多大？(2)病人的脚和腿所受的竖直向上的牵引力共是多大？(g取10 N/kg)【答案与解析】 一、选择题： 1．B解析：由|F 1－F 1|≤F ≤|F 1＋F 2|知，B 选项正确． 2．A解析：当两臂夹角为θ时，手臂的拉力为F ，则2cos 2F G θ＝，所以2cos 2GF θ＝当θ变大时，cos 2θ减小，F 变大，故A 正确．3．AC解析：由于合力始终向下，可知F 2与F 2′的水平分力相同．故F 2与F 2′关于水平方向对称．所以F 2与水平方向成30°，设F 1与竖直方向成α，如图所示．对各力进行分解可得： F 1sin α＝F 2cos30°①F 1cos α>F 2sin30°②由①2＋②2得：F 12>F 22.即F 1>F 2. 4．D解析：引桥越高，斜面倾角θ越小，重力沿斜面方向的分力F ＝mg sin θ越小，故D 对． 5．B解析：对O 点进行受力分析，O 点受到竖直向下的冲力F 和斜向上的网绳的拉力，设每根网绳的拉力大小为F 1，由力的合成与分解的知识可知，dOe 和bOg 竖直向上的拉力都为F 1，由2F 1＝F 得12FF ＝，故B 对． 6．A解析：物体对O 点拉力等于物体重力，此力有两个效果：一是使AO 绳拉紧；二是使BO 绳拉紧．按效果把物体对O 点的拉力分解，通过作图可得AO 绳受的力大于BO 绳受的力． 7．AD解析：分析船的受力情况如图所示，船匀速靠岸的过程中，cos T f F F α＝.F f 不变，α增大，cos α减小．所以F T增大，A 正确，B 错误；拉力F T 竖直向上的分力为·sin T F α，因F T 、α均增大，·sin T F α增大，那么船受到的浮力不断减小，所以C 错误，D 正确．8．A解析：由于定滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，所以F T 1＝F T 2＝F T 3.又轴心对定滑轮的支持力等于绳对其的合作用力．而已知两个分力的大小、其合力与两分力的夹角θ满足关系式：2212122cos F F F F F θ++＝，θ越大，F 越小，故F N1>F N2>F N3，只有选项A 正确．二、计算题1．5 N解析：当OC 下端所悬物重不断增大时，细线OA 、OB 所受的拉力同时增大．为了判断哪根细线先被拉断，利用假设，分别假设OA 、OB 达最大值时，看另一细线是否达到最大值，从而得到结果．可选O 点为研究对象，其受力情况如图所示，假设OB 不会被拉断，且OA 上的拉力先达到最大值，即F 1＝10 N ，根据平衡条件有21max 2cos45107.07 N F F ︒＝＝＝，由于F 2大于OB 能承受的最大拉力，所以在物重逐渐增大时，细线OB 先被拉断．再假设OB 线上的拉力刚好达到最大值(即F 2max ＝5 N)处于将被拉断的临界状态，根据平衡条件有F 1·cos45°＝F 2max ，F 1sin45°＝F 3.再选重物为研究对象，根据平衡条件有F 3＝G max . 以上三式联立解得悬挂最大重物为G max ＝F 2max ＝5 N.2．5F解析：力F 的作用效果是对AB 、AO 两杆产生沿杆方向的压力F 1、F 2，如图(a)．而F 1的作用效果是对M 产生水平的推力F ′和竖直向下的压力F N ，如图(b)，可得对货物M 的压力．由图可得：100tan 1010α＝＝122cos FF F α＝＝而F N ＝F 1sin α 则sin tan 52cos 2N F FF F ααα＝＝＝3．(1)93.3 N (2)75 N解析：因绳子中各处与其他物体没有结点，所以绳子中各处的张力(拉力)都等于所悬挂的重物的重力，即F T ＝mg ＝50 N.将ab 段的绳子拉力沿水平方向和竖直方向分解，如图所示．cos30433 N T F F .︒水平＝＝， sin3025 N T F F .︒竖直＝＝(1)由图知，病人的脚所受水平方向的牵引力：F 牵＝F T ＋F 水平＝50 N ＋43.3 N ＝93.3 N(2)由图知，病人的脚和腿所受的竖直向上的牵引力：50 N 25 N 75 N T F F F '竖直牵＝＋＝＋＝。