第 3 章
名義利率和實際利率
1
時間標準

一年：可以分割成:

365 天 52 週 12 月 一季: 3 個月 – 4 季/年

計算利息可能比一年一次更頻繁 利息計算過程中，若複利週期(利息週期)與資金週期 (支付或獲得)不一致時，產生之利率結果會不一樣
2
利息敘述的方式

兩種利息敘述的方式：
定義： 名義利率 r = 每期之實際利率期數
【例】若月利率為1.5%
季名義利率 =

半年名義利率 =
年名義利率 =
4
實際利率 (Effective Rate)

實際利率(Effective Rate)：考慮貨幣時間價值之利 率，實際利率才是真實的週期性利率。
【例】若本金為 $1，銀行公告之年利率(即名義利率)為12%，半年 複利一次（即一年中之複利次數為2次），試求算 (1) 一年後所獲得的利息為多少？ 為何? (2) 實際年利率
情況二：複利週期間的現金異動以單利計算
半年複利 0 1 2 3 4 5 6 $800 7 $750 $850 8 9 10 11 $700 12
$900 $1,000
18
連續複利與間斷資金之計算

連續複利是指複利週期極小，或複利之發生事 不間斷的計息方式
公式： 連續複利下，年實際利率
i eff = e r 1 ，其中r％為名義年利率
Interest Rate Period, T – 以每期﹪來陳述 利率。

11
複利週數(CP)小於支付週期(PP)之計算

方法一：求每支付週期的實際 “ieff”，並求 出總支付週期數“n”.
【例】某人於未來10年內將分10次存入＄1,000之現金，若年利率為12%， 每季複利一次，求十年後之終值為何？
M
7
連續複利的推導
r i lim 1 m m
m r

r
1 e r 1.
其中：“r” 是連續複利的名義利率.
8
實際利率之計算
例3.1 (p.92)
**例3.3 (p.96) 年利率18%,連續複利， 求每月與每年之實際利率?
$90 $90
$165
$45
0 $150
1
2
3
4 $75
5
6 $100
7
8
9
10 $50
11
12 $50
$200 $200
$175
16
複利間隔期無利息－按季複利

修正的 CF 圖
$90
$165
0 $150
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 $50
$200
$175
17
支付週數小於複利週期之計算－單利

現金流 量圖
【解 2】
14
支付週數小於複利週期之計算

情況一：複利週期間的現金異動(存款或提款) 不計息

將現金作調整：支付(Outlow)金額(如：存錢 至銀行)向後調整至複利時間點，獲得(Inflow) 金額(如：自銀行領錢)向前調整至複利時間點。
15
複利間隔期無利息－按季複利

修正的 CF 圖
5
實際利率之公式

若 ieff：每期之實際利率, r：名義利率(通常為年) M：一年中複利次數 , P：本金 , I： 利息 公式： I r M ieff (1 ) 1 P M
6
【例】當r = 12%，求不同複利週期之實際年利率
複利週數 年 半年 季 月 日 期數 每期利率 實際年利率

1. 用名義利率敘述 利率在企業、財務，和工程經 濟上很常見。 每種都必須瞭解，以便能求解用各種方式表 示利息的不同問題。

3
名義利率 & 實際利率

名義利率(Nominal Rate)：為偽裝的利率 (Nominal字面之 意思即為偽裝)。名義利率明顯忽略了複利因素所造成之時 間價值。
現金流 量圖
【解 1】
12
複利週數(CP)小於支付週期(PP)之計算 (練習題)
【例】某人於未來2年內將分8次(每季)存入＄1,000之現金，若年利率為
15%，每月複利一次，求現值為何？ 方法(1)：求實際年利率 方法(2) ：找出每季之等值年金
13
複利週數(CP)小於支付週期(PP)之計算

方法二：求每複利週期之等值
3.33
F=3,006
21
e rN 1 F A er 1 er 1 A F rN e 1
e rN 1 P A rN e (e r 1)
F Pe rN
P Fe
rN
e rN (e r 1) AP e rN 1
19
隨時間而變動的利率
假設以下的未來點:
$70,000 7% 0 1
9
利息陳述方式與解釋
(1)利息陳述
15%/年，按月複利 15%/年
(2)利息型態
(3)複利週期
實際利率15%/年，按月複利
15%/年，按季複利 名義利率15%/年，按週複利
15%/月
15%/月，按月複利 實際利率5%/季 實際利率5%/月，按日複利 1%/月，連續複利
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與利息相關的時間週期

支付週期, Tp – 現金流量期間內收入或支出 的頻率。 複利週期, Tc – 兩次複利之間的時間長度。
(P/F,7%,2) (P/F,9%,3) (P/F,10%,4)
$70,000 $35,000 7% 2 9% 3 10% 4
$25,000
(P/F,7%,1)
20
練習題與答案
3.9 Eff/mo = 1.205% 3.19 Nom/mo = 1% Eff/mo = 1.005% 3.29 $4.58/mo 3.30 3.12 (a) r/mo = 1.098% (b) r/mo = 1.092% 3.20 (a) P=18,255 (b) P=17,675 (c) =$580 $1.88/wk 3.15 Eff/yr = 19.72% 20% is better 3.24 3.28 P= 10,731 X=1.38/per ticket