最大流问题
Maximum Flow Problem
最大流问题
与最小费用流问题一样，最大流问题也与网 络中的流有关。 最大流的目标不是使得流的成本最小化，而 是寻找 个流的方案 使得网络的流量最大 是寻找一个流的方案，使得网络的流量最大。 除了目标不一样之外，最大流问题的特征与 最小费用流问题的特征非常相似。
最小费用流的可行解
这类问题的解需要确定通过每一条弧的流有 多大。 具有可行解的特征：在上述假设下，当且仅 当供应点所提供的流量总和等于需求点所需 要的流量总和。 对于每一个可行解，通过每一条弧的流量都 不得超过该弧的容量。 每一个节点产生的净流量必须等于该节点标 明的流量。
为了简化网络图形，我们用每一个设施旁边方括号里的数字表示净 流出的单位数，于是，每一个末端仓库的产品单位数都是用负数来 表示，如下图所示。
最小费用流的特殊类型
转运问题：有一个附加特征，即从出发地运 输到目的地过程中可能会经过中间转运点， 此外，与运输问题基本上一样。 最大流问题：最大流的源点和收点的流量不 最大流问题 最大流的源点和收点的流量不 是固定的。 最短路径问题：在两点之间寻求最短路径， 且两个节点中的边（对应“弧”）允许双向 流动，而弧只允许沿着箭头方向流动。
RN公司是一家电子公司，它的工厂分别 位于下图中的1和2。在工厂生产出的部件 可能被运送到位于3或4仓库中的任意一个 仓库 通过这些仓库 公司向5、6、7、8 仓库，通过这些仓库，公司向 等地区的零售商发货。 图中给出了每个供应点和需求点的流量 以及每一条发货线路上每一个部件的运输 成本。 公司的目标是使总运输成本达到最小。
转载节点的约束条件
运出弧线
x
运入弧线
x
ij
运入弧线
x
ij
运出弧线
x
ij
x ij 0 对 所有的 i 到 j
终点节点的约束条件
xij 从节点 i到 j的运输量 cij 从节点 i到 j的单位运费 si 在初始节点 i的供给量 d j 在终点节点 j的需求量
3
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初始节点的约束条件
转载问题的线形规划模型：
min s.t
所有弧线
c
ij
x ij
运出弧线
x
ij
运入弧线 ij
x
ij
s i 初始节点 i 0 转载节点 d j 初始节点 j
x13 x23 x35 x36 x37 x38 0 x14 x24 x45 x46 x47 x48 0 x35 x45 200 x36 x46 150 x37 x47 350 x38 x48 300 xij 0
7
350
8
300
x36 x 46 150 x37 x 47 350 x38 x 48 300
min 2 x13 3x14 3x23 x24 2 x35 6 x36 3x37 6 x38 4 x45 4 x46 6 x47 5 x48 s.t x13 x14 600 x23 x24 400
例子：配送公司的问题
最小费用流问题
Minimum-cost Flow Problems
某公司有两个工厂生产产品，这些产品需要运 到两个仓库里。下面给出了一些条件： • 工厂1生产80个单位。 • 工厂2生产70个单位。 • 仓库1需要60个单位。 • 仓库2需要90个单位。 下图展示了运输这些产品可利用的配送网络。
实际上，配送网络要复杂的多。例如，纸业的配送网络：
林场→木材堆积场→锯木厂→造纸厂→纸制品加工厂→仓库→客户
终止节点 起始节点 （工厂）
600 1 2 3 从节点 i 到节点 j 运输的件数，用数学公式表示：
x13 x14 600 x23 x24 400
2 5
1
70
3
7
6 4
最大流问题的数学模型为：
最优解：最大流量150
2 5
max z x12 x13 x14 x25 x35 x36 x46 x57 x67 s.t x12 x25 0 x13 x35 x36 0 x14 x46 0 x25 x35 x57 0 x36 x46 x67 0 xij 0
最大流问题的假设
网络中所有流起源于一个节点，这个节点称为“源 点”，所有的流终止于另一个节点，这个节点称为 “收点”。 其余所有 节点都 转 点 其余所有的节点都称为“转运点”。 通过每一个弧的流只允许沿着弧的箭头方向流动， 由源点出发的所有的弧都背向源点，而所有终止于 收点的弧都指向收点。 最大流问题的目标是使得从源点到收点的总流量最 大（从源点出发的流量和进入收点的流量）。
[80] 1 F1 700元 4 W1
[-60]
[0] [ ] 3 DC
2 [70] F2 900元
5 W2
[-90]
最小费用流问题的数学模型为：
max z 700 x14 300 x13 400 x23 900 x24 200 x34 400 x35 s.t x13 x14 80 x23 x25 70 x14 x34 60 x25 x35 90 x13 x23 x34 x35 0 xij 0
下图给出了此问题的最优解。该光缆所需的总成本为： 总成本=2+2+1+3+1+5=14
B 2 A 1 D 2 C 3 F 1 E 5 G
问题：确定需要铺设哪些光缆使得提供每两个中心之间的 高速通信的总成本最小。
生产70个 单位产品
F2 900元/单位
W2
需要90个 单位产品
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最小费用流一般特征
所有最小费用流问题都是用带有通过其中的流的网 络来表示的。 网络中的圆圈被称为节点。 如果节点产生的净流量（流出减去流入）是一个确 定的正数的话 这个节点就是供应点 定的正数的话，这个节点就是供应点。 如果节点产生的净流量是一个确定的负数的话，那 么这个节点就称为需求点。 如果节点产生的净流量恒为零，那么这个节点就成 为转运点。 网络中的箭头称为弧。 允许通过某一条弧的最大流量称为该弧的容量。
关于最小费用流的解
对于最小费用流问题的应用，管理者希望所 有流量的解都是整数解。 只要所有的供应、需求和弧的容量都是整数 值 那么任何最小费用流问题的可行解就 值，那么任何最小费用流问题的可行解就一 定有所有流量都是整数的最优解。
最小费用流的特殊类型
5种重要的最小费用流问题的特殊类型： 运输问题：运输问题的出发点和目的地就是 分别用供应点和需求点来表示的，所以，运 输问题就是没有转运点和没有弧的容量限制 的最小费用流问题。 指派问题：它是一类特殊的运输问题，它的 出发地是人，目的地是任务，这样使得指派 问题也具有最小费用流问题的特征。
1
4 6 4 D 6 B 5 2 4 C 7 7 3 E 4 H 5 2 3 G F 6
消防站
O
3
社区
T
此最短路径为：O → A → B → E → F → T
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一些实际应用
不是所有的最短路径问题都涉及要寻找从源点到目 标地的最短行进距离。 事实上，可能根本不涉及行进问题，这时“边”可 能代表了其他类 的活动 因 选择网络中的路与 能代表了其他类型的活动，因此选择网络中的路与 选择最佳的序列活动相对应。 最短路径问题的三种应用类型： 行进的总距离最小 一系列活动的总成本最小 一系列活动的总时间最小
最小支撑树
Minimum Spanning Tree
例子：M公司的管理层决定铺设最先进的光导纤维网络，为 其主要中心之间提供高速通信。下图显示了M公司各主要中 心（包括公司的总部、生产厂、配送中心）的分布图。虚 线是铺设纤维光缆的位置，其旁边的数字表示了铺设光缆 所需花费的成本。
B 2 A 4 D 5 2 C 1 4 7 5 4 3 F 1 E 7 G
生产80个 单位产品
700元/单位 F1 W1
需要60个 单位产品
DC
图中，F代表工厂，W代表仓库，DC表示一个配 送中心。箭头表示可行的运输线路。在F1和W1、 F2和W2之间各有一条铁路线路。此外，卡车总共 可从工厂运输50个单位到配送中心，然后从配送中 心运输50个单位到仓库。当然，不同的运输线路的 成本是不一样的（箭头上方标明的数字）。 管理者的目标是确定一个运输方案，使运输成本 的总和达到最小。
大规模的最小费用流问题
因为最小费用流问题是线性规划问题的一种特殊类型，这种 单纯型法不仅可以解决任何一个线性规划问题，而且也可以 为解决任意一个最小费用流问题提供标准的解决方法。 在实际运用中，解决比较大型的问题时需要使用不同的方法。 网络单纯型法可以用来解决那些对于单纯型来说太大而无法 解决的大型问题。 解决的大型问题 许多公司都使用网络单纯型法来解决最小费用流问题，有些 问题非常庞大，有着数万个节点和弧，有时弧的数量多达几 百万条。 最小费用流问题最重要的应用就是在配送网络的运营上，这 类应用包括确定如何从出发地运送到中转站，然后再运送给 客户的方案。
1 70
3
7
6 4
求此最短路径：
8 6 A
最短路径问题
任意最短路径问题可认为是最小费用流问题的一种 特殊类型。 最短路径问题假设： 在网络中选择一条路，这条路始于某一节点，该节 点称为 源 点称为“源”；它终于另一个节点，该节点称为目 它终于另 个节点 该节点称为 标“地”。 连接两个节点的连线通常称为“边”（允许任意方 向行进），也可以存在弧（只有一个方向）。 与每条边相关的一个非负数，称为边的长度。 目标是为了寻找从源点到目标地的最短路径。