武汉理工大学研究生考试试题(2010）
课程 矩阵论
（共６题,答题时不必抄题,标明题目序号）
一，填空题（１５分）
1、已知矩阵A 的初级因子为223
,(1),,(1)λλ-λλ-，则其最小多项式为 ２、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为
4、已知0100001000011
000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--，21i =-,则其范数
1α= ;2α= ;∞α= ；
二，（20）设1112112121220a a V A a a a a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪==-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩
⎭为22⨯R 的子集合, 1、证明：V 是22⨯R 的线性子空间;
２、求V 的维数与一组基；
3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
V ∈，定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++=
证明:),(B A 是V 的一个内积;
4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。

三、（15分)设{}
23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数
多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈，定义:
2010212[()]()()()T f t a a t a a t a a =+++++
1、证明：T 是3[]F t 上的线性变换;
2、求T 在基2
1,,t t 下的矩阵A 。

四,（15分） 设矩阵 123012001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
1、求A 的Jordan 标准形； ２、求A 的最小多项式。

五(２0分） 已知
1010011, 11011A b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
１、求A 的满秩分解；
2、求+A ；
3、求b AX =的最小二乘解；
４、求b AX =的极小范数最小二乘解。

六、（15分）已知
00021010, 01031A x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
1、求矩阵函数At e ;
2、求微分方程组
)()(t Ax dt
t dx =满足初始条件0)0(x x =的解。