浅谈物理模型的学习及理解
我们知道，建立物理模型是物理学研究问题的基本方法之一。
对于任意一个实际物体，因其自身的形状、体积、组成的均匀性等多方面的情况，使其在一个实际环境中的物理表现就不具有多少规律性，而物理学的分析问题的基本方法，如受力分析等，对此当然既不能定量描述，甚至也不能定性地分析。
这是我们每个学习了基本物理学知识的人必然都形成的观念。
那么，我们如何学习和理解物理模型呢？我想物理模型的建立是为了突出问题的实质，从而进一步建立理论，能在实验室中进行有针对性的验证或探索等。
从中，我们进一步能体会物理模型（或说概念）本身的重要性。
但需要过分地基于模型本身进行“深挖”和无休止地讨论吗？我感到这种问题是不能确定性地回答的，套用物理学的一个出发点，即具体问题应具体分析。
1．一些“定势”的影响
我们新课标人教版教材物理1中（现已经删除）有一习题，大致内容是：高速飞行的子弹射穿一个吊着的苹果，在射穿苹果的短暂过程中，问子弹能被看成是“质点”吗？答案是不能。
有老师指出，在穿透苹果的短暂时间内，子弹整体作平动，即子弹上各点的运动情况相同，因此，子弹可看成质点。
我本人写过一道题：物理学研究问题一般是通过建立物理模型进行的，质点就是一个物理模型。
关于质点，以下说法正确的是
A．研究地球的自转时，把地球当作质点
B．研究火车通过隧道所用的时间时，把火车当作质点
C．研究宇宙飞船在轨道上的运动时，把飞船当作质点
D．研究跳水运动员的空中运动情况时，把运动员当作质点
有老师提出B答案也是正确的。
我们仔细思考上面的问题，其实所要表述的思想是明确的，我们都明白其中的物理问题，应该说这两题的考核目标达到了。
当然，仅仅从一个题目求解的角度来看，老师的质疑也是合理的。
如果我们把题目的要求改为“在以下各问题的分析处理中，所采取的方法合理的是？”的话，那么，无论是从概念上分析，还是从物理问题的阐述的层面上看，就都有意义了。
2．平面运动的研究
透过以下的介绍，有助于我们合理地理解、把握物理模型的建立和运用。
2．1 直线运动的描述
物体（质点）轨迹是直线的运动，称为直线运动。
直线运动可以用一维坐标描述。
如图1所示，取O 为坐标原点，物体在任一时刻t 的位置可用函数)(t s 来描述。
若物体作匀速直线运动，则其速度是一常量，即常量=∆∆=--=
t s t t s s v 00。
如果运动不是匀速的，则该式所代表的是在t ∆时间间隔内质点运动的平均速度，即t
s t t s s v ∆∆=--=00，为了能反映质点在某一时刻运动的快慢，应该在尽
可能小的时间间隔t ∆内来考虑质点所走过的距
离s ∆。
理想的情况是0→∆t ，这种极限情况下的平均速度叫做瞬时速度：
dt ds t
s v t =∆∆=→∆lim 0。
同样的方法，对于匀变速直线运动，加速度常量=∆∆=--=t v t t v v a 00，如果速度是任意变化的，则该式所反映的是在t ∆时间间隔内速度改变量的平均值，称为平均加速度，记作t
v t t v v a ∆∆=--=00。
平均加速度不能反映每一瞬间速度变化的情况，容易理解瞬时加速度的规定，即220
lim dt s d dt dv t v a t ==∆∆=→∆。
2．2 曲线运动的描述
质点在高于一维的空间里运动，其轨迹一般是曲线，运动的描述需要用矢量。
为了表征一个质点在空间的位置，我们可以选择一个原点O ，从O 到质点的位置P 引一个矢量→OP ，称为位矢。
于是位移的定义为12r r r -=∆（其中21,,r r r 都是黑体）。
在曲线运动中，质点的位移与轨迹一般不重合，只有在t ∆很短的情况下，质点的位移和运动轨道才可以近似地看作重合；在0→∆t 的极限情况下，二者完全重合。
因此，在研究运动的速度时，可以把曲线运动看作是由无穷多个无限短的直线运动所组成（即所谓“以直代曲”）。
于是，曲线运动中某时刻t 的瞬时速度矢量为dt dr t r v t =∆∆=→∆lim 0（其中r v ,都是黑体），
其方向是0→∆t 时，Δr 的极限方向，如图2所示。
当0→∆t 时，Δr 趋于沿A 点的切线方向。
瞬时速度的数值叫瞬时速率，由于弧s ∆在0→∆t 时和r ∆相等，所以瞬时速率为
dt ds t
s t r v t t =∆∆=∆∆=→∆→∆lim lim 00 （其中r v ,是黑体）；
图1 直线运动
图2 瞬时速度矢量
在曲线运动中，速度的改变包括两个意义：大小的改变和方向的改变。
由于位移的规定，我们容易理解A B v v v -=∆（其中A B v v v ,,都是黑体）。
引入瞬时加速度矢量，规定为
dt dv t v t v v a t A B t =∆∆=∆-=→∆→∆lim lim 00（其中v a ,都是黑体）， 它既反映速度大小的变化，又反映速度方向的变化。
为了体会速度方向的变化，我们看匀速圆周运动中加速度的大小和方向。
分别研究大小和方向，由0→∆t ，s L A B ∆→∆→弧长弦长点点,，于是由
R v t s R
v a R
L
v v
t
v a a t t 2
00lim lim =∆∆∙=∆=∆∆∆==→∆→∆（其中绝对值符号中的字母是黑体） 又0→∆t 时，2/,0πθα→→，即方向指向圆心。
那么，一般曲线运动的加速度又如何描述呢？
前面在研究曲线运动的速度时，可以作一级近似，把曲线运动用一系列元直线运动来逼近。
因为在△t →0的极限情况下，元位移的大小和元弧的长度是一致的，所以“以直代曲”，对于描述速度这个反映运动快慢和方向的量来说已经够了。
但直线运动不能反映速度方向变化的因素，但圆周运动可以反映运动方向的变化，因此，我们可以把一般的曲线运动，看成是一系列不同半径的圆周运动，即可以把整条曲线，用一系列不同半径的小圆弧来代替，即所谓“以圆代曲”。
于是引入曲率圆和曲率半径的概念：通过曲线上一点A 与无限近的另外两个相邻点作一圆，在极限情况下，该圆就是A 点的曲率圆，其半径叫曲率半径ρ，如图5所示。
显然，ρ愈小的位置，则曲线在该处弯曲的程度愈大。
引入曲率圆后，整条曲线就可以看成是由许多不同曲率半径的圆弧构成，在任意曲线运动中对应曲线上某点的加速度可以类似变速圆周运动一样，分成切向和法向两个分量，即
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==。
v a dt dv a n t 反映速度方向的变化法向加速度反映速度大小的变化切向加速度,;,2ρ
图5 曲率圆
图4 向心加速度
图3 曲线运动中速度的增量
从上面的研究过程，我们可以体会到物理模型的意义和价值，即在具体问题的处理中，所选取的模型应科学合理、有效。
这也许是我们每个老师在教学和研究过程中应充分体会和重视的。