长郡中学2021届高三月考试卷(二)
数 学
本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={}{
}2340=28x x x x B x --≤>， ,那么集合A
B=
A. (3,)+∞
B. [1,)-+∞
C. [3,4]
D. (3,4] 2.设i 是虚数单位,若cos sin z i θθ=+,且其对应的点位于复平面的第二 象限,则θ位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 3.曲线3
()3f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-,则点P 的坐标为 A. (1,3) B. (-1,3) C. (1,3)和(-1,3) D. (1,-3)
4.如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的体积为
A.
83 B. 4
3
C. 3
D. 35.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是
A. cos(2)2y x π
=+
B. sin(2)2
y x π
=+ C. sin 2cos 2y x x =+ D. sin cos y x x =+
6.已知直三棱柱ABC- A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,
则球O 的半径为 A.
3172 B. 10 C. 13
2
D. 310
7.中华文化博大精深,我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法.古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计,现将其抽象成如图2所示的图形,其中圆的半径为2cm,正方形的边长为1 cm,在圆内随机取点,若统计得到此点取自阴影部分的概率是p,则圆周率π的近似值为
A.
41p - B. 11p - C. 114p - D. 14(1)
p -
8.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足2
12n n n a a S +=.且0n a >,则10S =
A.10
B. 11
C. 10311-
D.11
二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.已知函数2
()lg(1)f x x ax a =+--,给出下述论述,其中正确的是 A.当a =0时, ()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞
B. ()f x 一定有最小值;
C.当a =0时, ()f x 的值域为R;
D.若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{
}4a a ≥ 10.已知02
π
αβ<<<，且tan ,tan αβ是方程2
20x kx -+=的两不等实根， 则下列结论
正确的是
A. tan tan k αβ+=-
B. tan()k αβ+=-
C. 22k >
D. tan 4k α+≥ 11.正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 、F 、G 分别 为BC ,，CC 1，BB 1的中点.则 A.直线D 1D 与直线AF 垂直 B.直线A 1G 与平面AEF 平行
C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为98
D.点C 与点G 到平面AEF 的距离相等
12.已知函数3
()sin f x x x ax =+-,则下列结论正确的是
A. ()f x 是奇函数
B.若()f x 是增函数,则a ≤1
C.当3a =-时,函数()f x 恰有两个零点
D.当3a =时,函数()f x 恰有两个极值点 三、填空题:本题共4小题.每小题5分,共20分. 13.在7
1(3)x x
-的展开式中，
4
1
x 的系数是_______ 14.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF,则AF BC ⋅的值为_______
15.已知函数()sin(33)cos(22)f x x x ϕϕ=++，其中ϕπ<,若()f x 在区间2(,)63
ππ
上单调递减,则ϕ的最大值为___________。
16.已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵,记
n b 为数阵从左至右的n 列,从上到下的n 行共n 2个数的和,则数列n n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前2020项和为____
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12分)在递增的等比数列{}n a 中, 162532,18a a a a ⋅=+=,其中n N *∈
(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)记1
2log n a n n b a +=+,求数列{}n b 的前n 项和n T
18. (10分)现在给出三个条件:①a =2;②B=
4
π
;③3b .试从中选出两个条件,补充在下面的问题中,使其能够确定∆ABC,并以此为依据,求△ABC 的面积.
在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，_______，_______，且满足
(23)cos 3cos b c A a C =C,求△ABC 的面积. (选出一种可行的方案解答,若选出多个方
案分别解答,则按第一个解答记分)
19. (12分)某地随着经济的发展,居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款(年底余额),表1:
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理, 2010,5t x z y =-=-得到下表2：
(1)求z 关于t 的线性回归方程;
(2)用所求的线性回归方程预测,到2020年年底该银行储蓄存款额可达多少?
20. (12分)已知四棱柱ABCD- A’B’C’D’中,底面ABCD 为菱形,AB=2, AA'=4,∠BAD=60°,E 为BC 中点,C' 在平面ABCD.上的投影H 为直线AE 与DC 的交点. (1)求证:BD ⊥A’H;
(2)求二面角D'- BB' -C 的正弦值.
21. (12分)已知函数()=ln (1)1,, 2.718
x a
f x e
x x a x a R e -----∈=为自然对数的底数.
(1)若a =1,证明: (1)()0x f x -≥; (2)讨论()f x 的极值点个数.
22.(12分)随着5G 商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G 用户的争夺越来越激烈,5G 手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场,计划先在公司进行“抽奖免费送5G 手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广。
(1)公司内部测试的活动方案设置了第()i i N ∈次抽奖中奖的名额为32i + ,抽中的用户退出活动，同时补充新的用户,补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖,剩余全部用户均中奖,则活动结束.
参加本次内部测试第一次抽奖的有15人,甲.乙均在其中. ①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少? ②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望?
(2)由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利,现将在全市进行推广报名参加第一次抽奖活
动的有20万用户,该公司设置了第()i i N ∈次抽奖中奖的概率为9(1)40
i
i p +-=,每次中奖的
用户退出活动,同时补充相同人数的新用户,抽奖活动共进行2()n n N +∈次.已知用户丙参加了第一次抽奖,并在这2n 次抽奖活动中中奖了,在此条件下，求证:用户丙参加抽奖活动次数的均值小于
92。