湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）复数=（）A．B．C．D．2．（3分）已知p：x2﹣6x﹣27≤0，q：|x﹣1|≤m（m＞0），若q是p的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．m≤4 B．m＜4 C．m≥8 D．m＞83．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9C．8D．64．（3分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）若=1，则f′（x0）等于（）A．2B．﹣2 C．D．6．（3分）把下面在平面内成立的结论：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）7．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A．1B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+48．（3分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）A．﹣2 B．2C．D．9．（3分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln210．（3分）已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．2D．11．（3分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3B．6C．9D．1212．（3分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是真命题C．命题“p∪q”为真命题，则命题p和q均为真命题D．命题∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”．13．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）14．（3分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．15．（3分）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）16．（3分）平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定个三角形．17．（3分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．18．（3分）设的展开式中的常数项等于．19．（3分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．20．（3分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=；f（n）=．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（8分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．22．（8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．23．（8分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1．（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．24．（8分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．25．（8分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）复数=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．解答：解：复数====故选C点评：题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题．2．（3分）已知p：x2﹣6x﹣27≤0，q：|x﹣1|≤m（m＞0），若q是p的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．m≤4 B．m＜4 C．m≥8 D．m＞8考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质求出p，q对应的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结论．解答：解：由x2﹣6x﹣27≤0，得﹣3≤x≤9，即p：﹣3≤x≤9，由|x﹣1|≤m（m＞0），得1﹣m≤x≤1+m，即q：1﹣m≤x≤1+m，若q是p的必要而不充分条件，则，即，解得m≥8，即实数m的取值范围是m≥8，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．3．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9C．8D．6考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．解答：解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故选C．点评：本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．4．（3分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：以甲3胜1败而结束比赛，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，即可得出结论．解答：解：甲以3：1的比分获胜，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，因此所求概率为：P==．故选：A．点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，属于基础题．5．（3分）若=1，则f′（x0）等于（）A．2B．﹣2 C．D．考点：极限及其运算；变化的快慢与变化率．专题：计算题．分析：先将进行化简变形，转化成导数的定义式，即可解得．解答：解：根据导数的定义可得，=故选C点评：本题主要考查了导数的定义的简单应用，以及极限及其运算，属于基础题．6．（3分）把下面在平面内成立的结论：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：对4个命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，与另一条不一定相交，也可能异面，在长方体中找．（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，根据平行公理，则这两条直线平行；（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直，符合异面直线所成角的定义；（4）垂直于同一条直线的两条直线还可能相交或异面，比如墙角上的三条垂直的直线．故选B．点评：本题考查了线面的平行和垂直定理，借助于具体的事物有助于理解，还能培养立体感．7．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A．1B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4考点：数学归纳法．专题：阅读型．分析：由等式，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．解答：解：在等式中，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4故选D．点评：本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．解此类问题时，注意n的取值范围．8．（3分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）A．﹣2 B．2C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果．解答：解：===0﹣2×=﹣2故选A．点评：本题考查平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是把未知量转化为已知量，用侧棱做基底表示未知向量．9．（3分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC，它的面积可化作梯形ABEF的面积与曲边梯形BCEF面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到本题的答案．解答：解：令x=4，代入直线y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）由=x﹣1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x﹣1交于点B（2，1）∴S ABC=S梯形ABEF﹣S BCEF而S BCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封闭图形ABC的面积S ABC=S梯形ABEF﹣S BCEF=4﹣2ln2故选D点评：本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．10．（3分）已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．2D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣=1，①；﹣=1，②，①﹣②得=，∵点P（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵直线l的斜率为2，∴=2，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=．故选A．点评：本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．11．（3分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3B．6C．9D．12考点：二项式定理的应用．分析：由等式右边可以看出是按照x﹣2的升幂排列，故可将x写为2+x﹣2，利用二项式定理的通项公式可求出a2的值．解答：解：x3=（2+x﹣2）3，故a2=C322=6故选B点评：本题考查二项式定理及通项公式的运用，观察等式右侧的特点，将x3=（2+x﹣2）3是解题的关键．12．（3分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是真命题C．命题“p∪q”为真命题，则命题p和q均为真命题D．命题∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：要否定一个命题只要举出反例即可：对于A、B、C可举出反例；D根据全称命题p：“∃x0∈M，p（x0）”的否定￢p为：“∀x∈M，￢p（x）”即可判断出正确与否．解答：解：A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，对于逆命题，取m=0时不成立；B．设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是“若，则||≠||”是假命题，若向量、的起点相同，其终点在同一个圆周上，则必有||≠||，故其逆命题是假命题；C．只要p、q中有一个为真命题，则pVq即为真命题．由此可知：C为假命题；D．根据：全称命题p：“∃x0∈M，p（x0）”的否定￢p为：“∀x∈M，￢p（x）”可知：D正确．综上可知：正确答案为：D．故选D．点评：掌握四种命题间的关系、或命题的真假关系、全称命题与特称命题的否定关系是解题的关键．13．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）考点：导数的乘法与除法法则；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：构造函数h（x）=f（x）g（x），由已知得到当x＜0时，h′（x）＜0，所以函数y=h （x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得到函数y=h（x）为R上的奇函数，得到函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，画出函数h（x）的草图，结合图象得到不等式的解集．解答：解：设h（x）=f（x）g（x），因为当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，所以当x＜0时，h′（x）＜0，所以函数y=h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以函数y=h（x）为R上的奇函数，所以函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，因为f（﹣1）=0，所以函数y=h（x）的大致图象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A．点评：本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于基础题．14．（3分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P 这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．15．（3分）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条考点：排列、组合及简单计数问题．专题：综合题；压轴题．分析：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况，利用列举法可解．解答：解：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况：（1）当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0，1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；（2）当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2，0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2；以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；（3）同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；（4）当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；共有16条．综上，共有23+23+16=62种故选B．点评：此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的9条抛物线．列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法．要能熟练运用二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）16．（3分）平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定110个三角形．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：先把10个点看作不共线的，此时能确定的最多三角形数求出来，再减去共线5点所确定的三角形数即可解答：解：先把10个点看作不共线的，此时能确定的最多三角形数求出来，再减去共线5点所确定的三角形数，故有﹣=110个三角形．故答案为：110．点评：本题考查排列组合的基本问题，属于基础题．17．（3分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．解答：解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：8点评：本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．18．（3分）设的展开式中的常数项等于﹣160．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解答：解：∵=﹣（cosπ﹣cos0）=2，则=的展开式的通项公式为T r+1=••=•26﹣r•x3﹣r．令3﹣r=0，解得r=3，故展开式中的常数项等于﹣160，故答案为﹣160．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．19．（3分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．考点：导数的运算．分析：先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．解答：解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：3点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．20．（3分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=37；f（n）=3n2﹣3n+1．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：根据图象的规律可得相邻两项的差的规律可分析得出f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式．解答：解：由于f（2）﹣f（1）=7﹣1=6，f（3）﹣f（2）=19﹣7=2×6，f（4）﹣f（3）=37﹣19=3×6，f（5）﹣f（4）=61﹣37=4×6，…因此，当n≥2时，有f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），所以f（n）=++…++f（1）=6+1=3n2﹣3n+1．又f（1）=1=3×12﹣3×1+1，所以f（n）=3n2﹣3n+1．当n=4时，f（4）=3×42﹣3×4+1=37．故答案为：37；3n2﹣3n+1．点评：本题主要考查了数列的问题、归纳推理．属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（8分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．考点：椭圆的简单性质；复合命题的真假；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由p真与q真分别求得m的范围，利用复合命题的真假判断即可求得符合题意的实数m的取值范围．解答：解：p真，则有9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3…2分q真，则有m＞0，且e2=1+=1+∈（，2），即＜m＜5…4分若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q一真一假．①若p真、q假，则0＜m＜3，且m≥5或m≤，即0＜m≤；…6分②若p假、q真，则m≥3或m≤0，且＜m＜5，即3≤m＜5…8分故实数m的取值范围为0＜m≤或3≤m＜5…10分点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查复合命题的真假判断，考查集合的交补运算，属于中档题．22．（8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==X的分布列为EX==x 1 2 3 4P点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．23．（8分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1．（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可解答：解：（1）由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=a，故∠CED=60°．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°．（2）取CD的中点Q，连接PQ，EQ由PC=PD，CE=DE∴PQ⊥CD，EQ⊥CD∴∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，由ED=CD=a，在等边△ECD中EQ= a在等腰Rt△CPD中，PQ= a在Rt△EPQ中，cos∠EQP=．故二面角A﹣CD﹣E的余弦值为．点评：本小题考查线线垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．24．（8分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）联立直线y=kx+1与双曲线3x2﹣y2=1可得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，解得即为k的范围；（2）假设存在，则设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得x1+x2=，x1x2=，从而可求得+1=0，继而可解得k的值．检验成立．解答：解：（1）由，得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，得﹣＜k＜，且k≠±；（2）假设存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，又x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即++1+=0，∴+1=0，解得k=±1．经检验，k=±1满足题目条件，则存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．点评：本题考查双曲线的标准方程和性质，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．25．（8分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求导函数，可得，由于分母恒正，故由分子的正负，确定函数的单调区间；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的讨论，分别可求得f（x）的最小值，根据f（x）的最小值为1，可确定a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得，∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0．①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．②当0＜a＜2时，由f'（x）＞0解得，由f'（x）＜0解得x＜，∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为．（Ⅱ）当a≥2，由（Ⅰ）①知，f（x）的最小值为f（0）=1；当0＜a＜2时，由（Ⅰ）②知，f（x）在处取得最小值＜f（0）=1，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，合理分类是关键．。