八年级上册第二章特殊三角形一、将军饮马例1如图，在正方形 ABCD 中，AB=9,点E 在CD 边上，且 DE=2CE 点P 是对角 线AC 上的一个动点，则 PE+PD 的最小值是( )A 3 —B 、10 一C 、9D 、9 — 【变式训练】1、如图，在矩形 ABCD 中，AD=4,∠ DAC=30 ,点 P 、E 分别在 AC AD 上，则 PE+PD 的最小值是()2、 如图，∠ AOB=30，P 是∠ AOB 内一定点，P0=1Q G D 分别是 OA OB 上的动点，则△ PCD 周长的最小 值为 ______________3、 如图，∠ AOB=30，C, D 分别在 OA OB 上，且0C=2 0D=6点C, D 分别是 AO BO 上的动点，贝U CM+MN+DN 最小值为4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点 B , D 作AB 丄BD, DEl BD 连结 AC, CE (1) 已知AB=3, DE=Z BD=12设CD=X 用含X 的代数式表示 AC+CE 的长； (2) 请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小？并求出它的最小值； (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 的 最小值二、等腰三角形中的分类讨论例2 (1)已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm,则它的周长为 ________________(2) 已知等腰三角形的两边长分别为 ____________ 8cm 和10cm,则它的腰长为(3) 已知等腰三角形的周长为 _________________ 28cm 和8cm,则它的底边为【变式训练】1、 已知等腰三角形的两边长分别为 3cm 和7cm,则周长为 __________________2、 已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 _________________3、 已知等腰三角形的一个外角等于 150°,则它的各个内角的度数为 _______________________4、 已知等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,则它的各个内角的度数 __________________第1题D、4M D B5、已知等腰三角形底边为5cm, —腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,则腰长为______________6、在三角形ABC中，AB=AC AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,则底角∠ B的度数为____________7、如图，A、B是4× 5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1, 请在图中清晰地标出使以A B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C 的位置三、两圆一线定等腰例3在平面直角坐标系Xoy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P, 使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_________ 个【变式训练】1、在平面直角坐标系XOy中，已知点A( 1，，在坐标轴上找一点P，使得△ AOP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数为( )A. 5 B . 6 C . 7 D . 82、在平面直角坐标系中，若点A (2, 0),点B (0, 1),在坐标轴上找一点C,使得△ ABC是等腰三角形，这样的点C可以找到 ____________ 个.3、在坐标平面内有一点 A (2, _) , O为原点，在X轴上找一点B,使O, A, B为顶点的三角形为等腰三角形，写出B点坐标____________________________________________4、平面直角坐标系中，已知点A (4, 2) , B (4, -3 ),试在y轴上找一点卩，使厶APB为等腰三角形，求点P的坐标5、如图1,已知一次函数分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC交X轴负半轴与点G 且OC=OB(1) 求直线BC的函数表达式；(2) 如图2,若厶ABC中，∠ ACB的平分线CF与∠ BAE的平分线AF相交于点F,求证：∠ AFC= ∠ ABC卩，使厶ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说A(3)在X轴上是否存在点明理由F 分别是AD BC 的中点，M 在DC 上，将△ ADM 沿折痕AM 折叠，使点D 折叠后恰好 落在EF 上的P 点处. (1) 求点M P 的坐标；(2) 求折痕AM 所在直线的解析式； (3)设点H 为直线AM 上的点，是否存在这样的点 H 使得以H 、A P 为顶点的三 角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由.例5如图，在△ ABC 中，BD CE 分别是边 AC AB 上的高线. (1) 如果BD=CE 那么△ ABC 是等腰三角形，请说明理由； (2) 如果∠ A=60°,取BC 中点F ,连结点 D 、E 、F 得到△ DEF 判断四、折叠问题例4:如图，在矩形 ABCD K AB=6, BC=8将矩形折叠，使得点 D 落在线段 BC 的点F 处，则线段 DE 的长为 ____________________【变式训练】ABCD 中, AB=6 B 落在对角线AC 的点F 处，则线段BE 的长ABCD 中, AB=6 A 、C 重合，若，则折痕 EF 的长为3、如图，在矩形 ABCD 中, AB=6 BC=8沿AC 将矩形折叠，使得点B 落在点E 处，则线段EF 的长为 ______4、如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内, 顶点A 在坐标原点, AB 在X 轴正方向上，E 、1、如图，在矩形2、如图，在矩形 BC=8将矩形折叠，使得点BC=8沿EF 将矩形折叠，使该三角形的形状，并说明理由；(3) 如果点G是ED的中点，求证：FG⊥DE【变式训练】1、如图，点M是Rt△ ABC斜边BC的中点，点P Q分别在AB AC上，且PML QM(1)如图1,若P、Q分别是AB AC的中点，求证：PQ=PB+QC;(2)如图2,若P、Q分别是线段AB AC的动点(不与端点重合) (1)中的结论还成立吗？若成立请给与证明，若不成立请说明理由2、问题发现：如图〔，△ ACB^n△ DCE均为等边三角形，点A、D E在同一直线上，连接BE(1)求证：△ ACD^△ BCE(2)______________________________ 填空：∠ AEB的度数为;拓展探究：如图2,^ ACB和厶DCE均为等腰三角形，∠ ACB=/ DCE=90 ,点A、D E在同一直线上，点M为AB的中点，连接BE CM EM 求证：CM=EM全等之三垂直（K型图）例 1 女口图，已知AC⊥ CF, EF⊥ CF, AB丄BE, AB=BE求证：AC=BF,BC=EF 1、如图，已知，ACL CF，EF⊥ CF，AB丄CE, AC=CF求证：AB=CE全等之手拉手模型例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ ABD^n△ BCE连接AE与CD证明:(1)(2)(3) △ ABE^△DBCAE=DCAE与DC的夹角为60。
△ AGB^△DFBAGB C2、已知, ACL CF, EF L CF, AGL CE, AG=CE求证：AG=CF3、如图: 已知，AEI BD, CDL BD,∠ ABC=90 , AB=AC 求证：AE=BD ,BE=CD4、如图，点A是直线- 在第一象限内的一点；连接OA以OA为斜边向上作等腰直角三角形OAB若点A的横坐标为4 ,则点B的坐标为 _____________5、已知：如图，点B,C,E在同一条直线上,证明：△ ACB^△ CFEB=∠ E=60°,∠ ACF=60 ,且AB=CE(5) △ EGB^△CFB (6) BH 平分∠ AHC(7) GF// AC1、如果两个等边三角形△ ABD^n △ BCE 连接AE 与CD 证明: (1) △ ABE ^△ DBC (2) AE=DC(3)AE 与DC 的夹角为60。
(4) AE 与DC 的交点设为 H,BH 平分∠ AHC3、如图，两个正方形 ABCD 和DEFG 连接AG 与CE,二者相交于 H 问：(1 )△ ADG^△ CDE 是否成立？(2) AG 是否与CE 相等？(3) AG 与 CE 之间的夹角为多少度？ (4) HD 是否平分∠ AHE2、J 如果两个等边三角形△ ABD^n △ BCE 连接 AE 与CD 证明 (1) △ ABE ^△ DBC(2) AE=DC(3)AE 与DC 的夹角为 60。
(4) AE 与DC 的交点设为 H,BH 平分∠ AHCFC4、如图两个等腰直角三角形ADC与EDG连接AG,CE,二者相交于H.问（1）△ ADG^△ CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠ AHEE5、两个等腰三角形ABD与BCE其中AB=BD,CB=EB∠ ABD=∠ CBE=a连接AE与CD.问（ABE^△ DBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分∠ AHC钢架中的等腰三角形例1如图钢架中，∠ A=10° ,焊上等长的钢条来加固钢架.若AB=BC=CD=DE一直作下去，那么图中这样的钢条至多需要___________ 根1、如图钢架中，焊上等长的钢条P l P2, P2P3,巳P4,钢架，若P I A=PP2,则∠ A= ______ .2、如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若∠ BF5P4=100°,则∠ A=（）度.A. 10 B . 20 C . 153、如图钢架BAC中，焊上等长的钢条P1P2, P2P3, P3P4, P4P5来加固钢架,若PIA=PPa,则∠ A的取值范围______________4、如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP=RP2=P2R=∙∙∙ =P13P14=P14A,则∠ A 的度数是 _________。