轴对称与将军饮马问题（基础篇）专题练习一、两定点一动点1、答案：D分析：解答：∵点B和B’关于直线l对称，且点C在l上，∴CB=CB’，又∵AB’交l于C，且两条直线相交只有一个交点，∴CB’+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．2、答案：B分析：解答：MN是正方形ABCD的一条对称轴，∴PD=AP，当PC+PD最小时，即点P位于AC与MN的交线上，此时∠PCD=45°．3、答案：C分析：解答：当PC+PE最小时，P在BE与AD的交点位置，如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵D、E分别是边BC，AC的中点，∴P为等边△ABC的重心，∴BE⊥AC，∴∠PCE=12∠ACB=12×60°=30°，∴∠CPE=90°-∠PCE=90°-30°=60°，选C．4、答案：作图见解答．分析：解答：如图所示：5、答案：作图见解答．分析：解答：所作图形如图所示：6、答案：（1）画图见解答．（2）画图见解答．（3）P（0，4）．分析：解答：（1）（2）（3）过点A作AM⊥x轴于M，∵A（2，6），∴M（2，0），AM=6，又∵B（4，0），∴点B关于y轴的对称点B’（-4，0），∴B’M=6=AM，∴△AB’M为等腰直角三角形，∴∠P’BO=45°，∴△P’BO也为等腰直角三角形，∴B’O=PO=4，∴P（0，4）．7、答案：（1）画图见解答．（2）画图见解答．分析：解答：（1）关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反．（2）作C关于y轴的对称点C1，连接C1B，交y轴于点P．连接PB，PC，此时△PBC周长最小．8、答案：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）3.5．分析：解答：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）S△AOB=3×3-12×1×2-12×2×3-12×1×3=9-1-3-1.5=9-5.5=3.5．二、一定点两动点9、答案：D分析：解答：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，则OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，根据轴对称的性质可得MP=P1M，PN=P2N，∴△PMN的周长的最小值=P1P2，由轴对称的性质可得∠P1OP2=2∠AOB=2a，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=180°-2a，∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2M=∠OP1P2+∠OP2P1=180°-2a，选D．10、答案：B分析：解答：分别作点P关于OB，OA对称点C、D，连CD，分别交OA、OB于点M、N，连OC、OD、PM、PN、MN，∴PM=DM，OP=OD，∠COB=∠POB，∠DOA=∠POA，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD为等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°．11、答案：D分析：解答：如图，作点D关于直线AB的对称点G，作点D关于直线BC的对称点H，连接GH交AB于点E，交BC于点F，则此时△DEF的周长最小，∵∠DAB+∠ABC+∠DCB+∠ADC=360°，∠DAB=∠DCB=90°，∠ABC=α∴∠ADC=360°-∠DAB-∠DCB-∠ABC=180°-α，∴∠G+∠H=180°-∠ADC=α，∴∠EDF=∠ADC-（∠ADE+∠CDF）=180°-2α．选D．12、答案：18分析：解答：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，故有MP=MC，NP=ND；则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=18cm．13、答案：20分析：解答：根据题意，EP=EM，PF=FN，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，∴MN=20．14、答案：15；100分析：解答：连接OP，OP1，OP2，PP1，PP2．由对称可知，MP1=MP，NP=NP2，∴△PMN的周长为MN+MP+NP=MN+MP1+NP2=P1P2=15．由对称可知，∠OPM=∠OP1M，∠OPN=∠OP2N，∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=180°-2∠AOB=100°．15、答案：6分析：解答：连AD，过A作AN⊥BC于N，∵EF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴DB+DM=AD+DM，在△ADM中，AD+DM＞AM，∴（AD+DM）min=AM，又M为BC上动点，∴当AM⊥BC时最小，即为AN，∵S△ABC=12cm2，BC=4cm，∴AN=2×12÷4=6cm．16、答案：2α分析：解答：过P的作关于OB的对称点P’，作P’C⊥OA于C，交OB于D，此时PD=PD’，根据点到直线的距离最短可知PD+DC=P’C最短．∵∠PDB=P’DB，∠CDO=∠P’DB，∴∠CDO=∠PDB，∵P’C⊥OA，∠AOB=α，∴∠CDO=90°-α，∴∠PDC=180°-2（90°-α）=2α．17、答案：50°分析：解答：作A关于BC的对称点为E，作A关于CD的对称点F，连接EF交BC，CD于点M，N．此时AMN的周长就是最小的时候．设∠NAD=∠F=α，∠E=∠BAM=β，∵∠B=∠D=90°，∠C=65°，∴∠BAD=α+β+∠MAN=115°．∵2α+2β+∠MAN=180°，∴α+β=65°．∴∠MAN=∠BAD-（α+β）=50°．18、答案：4分析：解答：作D关于BA，BC的对称点E，F．连接BE，BF．则当M，N是CD与BA，BC的交点时，△MND的周长最短，最短的值是EF的长．连接BE、BF，∵D、E关于BA对称，BE=BD，∴∠ABE=∠ABD，同理，∠FBC=∠DBC，BF=BD，∴∠EBF=2∠ABC=60°，BE=BF，∴△BEF是等边三角形．∴EF=BE=BD=4．故答案是：4．19、答案：4分析：解答：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，∴MN=ME，∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为20，AB=10，∴12×10×CE=20，∴CE=4．即CM+MN的最小值为4．故答案为4．20、答案：3分析：解答：如图：CM即为最短距离．∠BAC=30°，CM⊥AB，AC=2CM=6，CM=3．21、答案：5分析：解答：如图，作N关于AD的对称点N’，连接MN’，作BN’’⊥AC于N’’，交AD于M’．∵BM+MN=BM+MN’≤BN’’，∴当M与M’，N与N’’重合时，BN’’最小，∵S△ABC=12·AC·BN’’=15，AC=6，∴解得BN’’=5，∴BM+MN的最小值为5．22分析：解答：如图所示，易得CM+MN．∴可得CM+MN．23、答案：（1）如图所示：（2）△ABC是直角三角形．分析：解答：（1）如图所示：（2）△ABC是直角三角形，理由如下：由（1）可知：AA’⊥OM，AA’’⊥ON，AB=A’B，AC=A’’C，∴∠A’=∠BAA’，∠A’’=∠CAA’’，∴∠A’AA’’=360°-90°-90°-∠MON=135°，∴∠BAA’+∠CAA’’=∠A’’+∠A’=180°-∠A’AA’’=45°，∠BAC=∠A’AA’’-（∠BAA’+∠CAA’’）=90°，∴△ABC是直角三角形．24、答案：△PQR周长的最小值为PO=8．分析：解答：作P点关于OA，OB的对称点P1、P2，利用轴对称的知识，证明OP=OP1=OP2，且∠P1OP2=60°，得到等边三角形OP1P2，∴△PQR周长的最小值为PO=8．25、答案：作图见解答．分析：解答：如图所示：作法：①作点C关于直线AO的对称点点D，②作点C关于直线BO的对称点点E，③连接DE分别交直线AO，BO于点M，N，则CM+MN+CN最短．26、答案：4.8．分析：解答：如图，作PQ⊥AC于点Q，PE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∴PQ=PE，要使PC+PQ最小，即使PC+PE最小，∴当C、P、E共线且CE⊥AB时PC+PE最小，这时PC+PQ=PC+PE=8610=4.8．。