唐山市2018—2019学年度高三年级第一次模拟考试
理科数学参考答案
一．选择题：
A 卷：CDBAA CDBAC BC
B 卷：CDCAA CDBAB BC
二．填空题： （13）－4
（14）7
（15）2π
（16）33
2
三．解答题： （17）解：
（1）令n ＝1，得a 1＋a 1＝2，(a 1＋2)(a 1－1)＝0，得a 1＝1， 所以S n ＝n ，即S n ＝n 2．
当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1适合上式， 所以a n ＝2n －1． …6分
（2）b n ＝(－1)n －1•a n ＋1S n ＋n ＝(－1)n －1•2n ＋1n 2＋n ＝(－1)n －
1•(
1n ＋1n ＋1
)
…8分
当n 为偶数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝(
1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…－(1n ＋
1n ＋1
)
＝1－1n ＋1＝n
n ＋1
当n 为奇数时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝(
1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)＋…＋(1n ＋
1n ＋1
)
＝1＋1
n ＋1＝n ＋2n ＋1
综上所述，T n ＝⎩
⎨⎧n
n ＋1
，(n 为偶数)，n ＋2n ＋1
，(n 为奇数)． …12分
另解：
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝(
1 1＋ 1 2)－( 1 2＋ 1 3)＋( 1 3＋ 1 4)－( 1 4＋ 1 5)
＋…＋(－1)n －
1•(
1n ＋
1n ＋1
)
＝1＋(－1)n －1
•1n ＋1＝n ＋1＋(－1)n －
1n ＋1
…12分
（18）解：
（1）因为E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，所以EF ∥BC ， 因为∠ABC ＝90°，所以EF ⊥BE ，EF ⊥PE ， 又因为BE ∩PE ＝E ，所以EF ⊥平面PBE ， 所以BC ⊥平面PBE ． …5分 （2）取BE 的中点O ，连接PO ，
由（1）知BC ⊥平面PBE ，BC ⊂平面BCFE ，所以平面PBE ⊥平面BCFE ， 因为PB ＝BE ＝PE ，所以PO ⊥BE ，
又因为PO ⊂平面PBE ，平面PBE ∩平面BCFE ＝BE ，所以PO ⊥平面BCFE ． …7分
（2）分别以OB ，OP 所在直线为x ，z 轴，过O 且平行BC 的直线为y 轴建立空间直角坐
标系，则P (0，0，3) ，C (1，4，0)， F (－1，2，0)
．
PC →＝(1，4，－3)，PF →＝(－1，2，－3)
设平面PCF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则
⎩⎪⎨⎪⎧PC →·m ＝0，PF →·m ＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3z ＝0，－x ＋2y －3z ＝0， 则m ＝(－1，1，3)，
易知n ＝(0，1，0)为平面PBE 的一个法向量， cos 〈m ，n 〉＝
－1⨯0＋1⨯1＋3⨯0(－1)2＋12＋(3) 2
＝ 1
5＝5 5，
所以平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值5
5． …12分 （19）解：
（1）当k ＝
1 2时，直线l ：y ＝
1
2(x ＋4)即x －2y ＋4＝0．
此时，直线l 与抛物线C 相切，由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0
y 2＝2px
得y 2－4py ＋8p ＝0，
由∆＝0即16p 2
－32p ＝0，得p ＝2， 所以C 的方程为y 2＝4x ． …5分 （2）直线l ：y ＝k (x ＋4)，其中k ≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋4)y 2＝4x
得：ky 2－4y ＋16k ＝0，由∆＝16－64k 2＞0知：k 2＜
1
4．
根据韦达定理得：⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝
4
k ，
y 1y 2＝16，
…①
又A 为PB 的中点，得：y 1＝
1
2y 2， …②
由①②得：k 2＝
2
9，符合∆＞0，
所以|AB |＝
(
1＋1k 2)
[(y 1＋y 2)2
－4y 1y 2]＝4(1＋k 2)(1－4k 2)k 2
＝211. …12分 （20）解：
（1）分层抽样.
…2分 （2）将列联表中的数据代入公式计算得
K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝200(40×50－100×10)
2
140×60×50×150
≈3.175＞2.706，
所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”． …6分 （3）以频率作为概率，从该小区随机选择1家企事业单位作为普查对象，入户登记
顺利的概率为 4 5，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为 2
3． X 可取0，1，2，3，4．
P (X ＝0)＝
1 5×(
1 3)
3＝ 1 135， P (X ＝1)＝
4 5×(
1 3)
3＋
1 5×C 13
× 2 3×(
1 3)
2＝ 10
135，
P (X ＝2)＝
4 5×C 13× 2 3×(
1 3)
2＋
1 5×C 2
3
×( 2 3)
2×
1 3＝ 36
135，
P (X ＝3)＝
4 5×C 23×( 2 3)
2×
1 3＋
1 5×(
2 3)
3＝ 56 135，P (X ＝4)＝
4 5×( 2 3)
3＝ 32
135．
X 的分布列为：
E (X )＝0× 1 135＋1× 10 135＋2× 36 135＋3× 56 135＋4× 32 135＝14
5．
…12分
（21）解：
（1）由f (x )≥0得ax －ln x x ≥0，从而ax ≥ln x x ，即a ≥ln x
x 2．
…2分
设g (x )＝ln x
x 2，则g '(x )＝1－2ln x x 3，（x ＞0）
所以0＜x ＜e 时，g '(x )＞0，g (x )单调递增；x ＞e 时，g '(x )＜0，g (x )单调递减，
所以当x ＝e 时，g (x )取得最大值g (e)＝1
2e ，
故a 的取值范围是a ≥1
2e ． …6分
（2）设y ＝f (x )的图像与y ＝a 相切于点(t ，a )，依题意可得⎩⎨⎧f (t )＝a ，f '(t )＝0．
因为f '(x )＝a －1－ln x
x 2，所以⎩
⎨⎧at －ln t
t ＝a ，
a －1－ln t
t 2＝0，
消去a 可得t －1－(2t －1)ln t ＝0． …9分 令h (t )＝t －1－(2t －1)ln t ，
则h '(t )＝1－(2t －1)·1t －2ln t ＝1
t －2ln t －1， 显然h '(t )在(0，＋∞)上单调递减，且h '(1)＝0，
所以0＜t ＜1时，h '(t )＞0，h (t )单调递增；t ＞1时，h '(t )＜0，h (t )单调递减， 所以当且仅当t ＝1时h (t )＝0． 故a ＝1． …12分 （22）解：
（1）当α＝ π 2时，l ：x ＝1；当α≠ π
2时，l ：y ＝tan α(x －1)． 由ρsin 2θ＝4cos θ得，ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，
因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程y 2＝4x ． …5分
（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得： (sin 2α)t 2－(4cos α)t －4＝0,
则t 1＋t 2＝4cos αsin 2α，t 1t 2＝－4
sin 2α，
因为|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＝8，所以sin α＝22或－2
2，
因为0＜α＜π，所以sin α＝22，故α＝
π
4或3π
4． …10分 （23）解：
（1）∵a ，b 是正实数，∴a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤1， ∴(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ≤4， ∴a ＋b ≤2， 当且仅当a ＝b ＝1时，取“＝”. …5分
（2）∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b ) 2
＝4， ∴a 2＋b 2≥2，
∴(a ＋b 3)(a 3＋b )＝a 4＋b 4＋a 3b 3＋ab ≥a 4＋b 4＋2a 2b 2＝(a 2＋b 2) 2≥4，
当且仅当⎩⎨⎧ a ＝b ，
a 2
b 2＝1，
即a ＝b ＝1时，取“＝”. …10分。