第1讲集合1. 集合：某些指定的对象集在一起成为集合(1)集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；(2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号｛｝内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
(4)常用数集及其记法：非负整数集(或自然数集)，记作N;正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q;实数集，记作Ro2. 集合的包含关系：(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B 的子集(或B包含A)，记作AB (或)；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
若AB且BA则称A等于B,记作A=B;若AB且导B,则称A是B的真子集，记作A B；(2)简单性质：1) AA 2) A；3)若AB BC 则AC；4)若集合A是n个元素的集合，则集合A有2个子集(其中2- 1 个真子集)；3. 全集与补集：(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U(2)若S是一个集合，AS,则，=称S中子集A的补集；(3)简单性质:1) ()=A； 2) S=, =S4 .交集与并集：(1)一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。
交集。
(2)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
5 .集合的简单性质：(1)(2)(3)(4)(3)(A n B = ( A)U( B),(A U B) = (A)n( B)。
【典例解析】题型1:集合的概念例1 . ( 20 09广东卷理)已知全集，集合和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A. 3个B. 2 个C. 1 个D. 无穷多个答案B解析由得，则，有2个，选 B.例2. (2009山东卷理)集合”若,则的值为().1 C答案D解析故选 D.题型2:集合的性质例3. (2009山东卷理)集合,,若,则的值为().1 C答案D解析T,,二二，故选D.1.设全集U=RA={x € N| K x1 2< 10} ,B={ x€ R| x + x-6=0}2. 已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 〔6y+8 < 0}，若A n B=©,则实数a的取值范围为( ).解：由题知可解得A={y|y>a 2+1 或y<a}, B={y|2 <y <4},我们不妨先考虑当A C B=©时a的范围.如图由，得二或.即A n B=©时a的范围为或.而A n 时a的范围显然是其补集,从而所求范围为.注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想” 例4.已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由解：T；.:,即=0,解得当时，，为A中元素；当时，当时，二这样的实数x存在，是或。
另法：T…,•： = 0 且二或。
点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。
分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。
此题的关键是理解符号是两层含义：。
变式题：已知集合，“求的值。
解：由可知，(1)，或(2)解(1)得，解(2)得，又因为当时，与题意不符，所以，。
题型3:集合的运算例5 . (2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B(1)求集合A、B(2)若AB=B求实数的取值范围.解(1) A=B=(2)由AB= B得AB因此所以,所以实数的取值范围是例6. (2009宁夏海南卷理)已知集合，则()A. B.C. D.答案A解析易有，选A题型4:图解法解集合问题例7 . ( 2009年广西北海九中训练)已知集合M= N=贝U( )A. B.C. D.答案C例8 .设全集，函数的定义域为A，集合，若恰好有2个元素, 求a 的取值集合。
解：时，二当时，在此区间上恰有2个偶数。
题型7：集合综合题例11. (1999上海，17)设集合A={x|| x-a|<2}，B={x|<1}，若AB,求实数a的取值范围。
解：由| x—a|<2，得 a —2<x<a+2，所以A={x| a —2<x<a+2}。
由<1,得<0,即一2<x<3，所以B={ x| —2<x<3}。
因为AB,所以，于是0三a w 1。
第二讲函数概念与表示1. 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f : A- B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x) , x€ A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)| x€ A}叫做函数的值域。
注意：(1) “y=f (x) ”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ y=g(x) ”；(2)函数符号“ y=f(x) ”中的f (x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2 .构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如: 分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等)；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量X的实际意义。
(2)求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题①配方法(将函数转化为二次函数)；②判别式法(将函数转化为二次方程)；③不等式法(运用不等式的各种性质)：④ 函数法(运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等)。
3. 两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4. 区间(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3 )区间的数轴表示5. 映射的概念一般地，设A B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素X，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f: AB为从集合A到集合B 的一个映射。
记作“ f: AB'。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
注意：(1)这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。
(2) “都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思6. 常用的函数表示法(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系7. 分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；8. 复合函数若y=f(u)，u=g(x), x (a，b)，u (m,n)，那么y=f[g( x)] 称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域【典例解析】题型1：函数概念例1. 21. (2009天津卷文)设函数则不等式的解集是( ) A. B.C. D.答案A解析由已知，函数先增后减再增当，令解得。
当，故，解得变式题：(2009北京文)已知函数若，则答案解析本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值.属于基础知识、基本运算的考查.由，无解，故应填.例2.(1)函数对于任意实数满足条件，若则________ ；解：(1)由得，所以，则题型二：判断两个函数是否相同例3 .试判断以下各组函数是否表示同一函数？(1) f：(x)=，g (x)=；(2) f：(x)=，g (x)=(3) f：(x)=，g (x)=() 2n— 1 *、(n € N)；(4) f：(x)=，g (x)=；(5) f：(x) =x2—2x—1，g(t) =t2—2t —1。
解：(1)由于f(x) ==|x|，g (x) ==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；(2)由于函数f ( x)=的定义域为(―〜0)U( 0，心)，而g (x)=的定义域为R,所以它们不是同一函数；(3)由于当n€ N*时，2n± 1为奇数，二f (x) ==x，g (x) = () 2n_ 1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；(4)由于函数f (x)=的定义域为｛x| x> 0｝，而g (x)=的定义域为｛ x| x<—1或x> 0｝，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数点评：对于两个函数y=f (x)和y=g (x)，当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f (x)和y=g (x)才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。