❀❀❀思路点拨：出现“ ”形式，优先构造 F (x) f (x) 然后利用函数的单调 x
性、奇偶性和数形结合求解即可.
【解析】构造
F(x)
f (x) x
，则
F '(x)
f '(x) x f (x) x2
，当
x0
时，
xf ' (x) f (x) 0 ，可以推出 x 0 ， F ' (x) 0 ， F (x) 在 (,0) 上单调递增.∵ f (x) 为
A、有极大值，无极小值
B、有极小值，无极大值
C、既有极大值又有极小值
D、既无极大值也无极小值
❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x) nf (x) ”形式，为 n 3 时情况，优先构造 F (x)
f (x) ， xn
然后利用积分、函数的性质求解即可.
【例 4】设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，在 (,0) 上有 2xf ' (2x) f (2x) 0 ， 且 f (2) 0 ，则不等式 xf (2x) 0 的解集为___________. ❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x) nf (x) ”形式，优先构造 F (x) xf (2x) ，然后利用 函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.注意 f (2) 0 和 F (x) 的转化.
不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.
F (x) xn f (x) ， F ' (x) nxn1 f (x) xn f (x) xn1[nf (x) f ' (x)] ；
F(x)
f
(x) xn
，
F
'
(
x)
f ' (x) xn nxn1 f (x) x2n
xf
例 1，例 2.
【例 1】 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， f (x) xf ' (x) 0 ，且
f (4) 0 ，则不等式 xf (x) 0 的解集为____________
❀❀❀思路点拨：出现“ ”形式，优先构造 F (x) xf (x) ，然后利用函数的单调性、 奇偶性和数形结合求解即可.
【解析】构造 F (x) xf (x) ，则 F ' (x) f (x) xf ' (x) ，当 x 0 时，f (x) xf ' (x) 0 ， 可以推出 x 0 ， F ' (x) 0 ， F (x) 在 (,0) 上单调递减.∵ f (x) 为偶函数， x 为奇函
数 ， 所 以 F (x) 为 奇 函 数 ， ∴ F (x) 在 (0,) 上 也 单 调 递 减 . 根 据 f (4) 0 可 得
导数小题中构造函数的技巧
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想， 而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下 面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。
（一）利用 f (x) 进行抽象函数构造
1、利用 f (x) 与 x 构造；常用构造形式有 xf (x), f (x) ；这类形式是对 u v, u 型函
x
v
数导数计算的推广及应用，我们对 u v, u 的导函数观察可得知， u v 型导函数中 v
体现的是“
”Hale Waihona Puke ，u v型导函数中体现的是“
”法，由此，我们可以猜测，当
导函数形式出现的是“ ”法形式时，优先考虑构造 u v 型，当导函数形式出现
的是“－”法形式时，优先考虑构造 u ，我们根据得出的“优先”原则，看一看 v
F (4) 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (x) 0 的解
集为 (,4) (0,4) .
【 例 2 】 设 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ， 且 f (1) 0 ， 当 x 0 时 ， 有 xf ' (x) f (x) 0 恒成立，则不等式 f (x) 0 的解集为________________
偶函数， x 为奇函数，所以 F (x) 为奇函数，∴ F (x) 在 (0,) 上也单调递减.根据
f (1) 0 可得 F (1) 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知
f (x) 0 的解集为 (,1) (1,) .
xf (x), f (x) 是比较简单常见的 f (x) 与 x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的， x
【 解 析 】 构 造 F (x) xf (2x) ， 则 F ' (x) 2xf ' (x) f (2x) ， 当 x 0 时 ， F ' (x) 2xf ' (x) f (2x) 0 ，可以推出 x 0 ， F ' (x) 0 ， F (x) 在 (,0) 上单调递减. ∵ f (x) 为奇函数， x 为奇函数，所以 F (x) 为偶函数，∴ F (x) 在 (0,) 上单调递增. 根据 f (2) 0 可得 F (1) 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像 可知 xf (2x) 0 的解集为 (1,0) (0,1) .
，则
F '(x)
f '(x) x 2 f (x) x3
，当
x0
时，
xf ' (x) 2 f (x) 0 ，可以推出 x 0 ，F ' (x) 0 ，F (x) 在 (0,) 上单调递减.∵ f (x) 为
偶函数， x2 为偶函数，所以 F (x) 为偶函数，∴ F (x) 在 (,0) 上单调递增.根据
'
(x) nf x n1
(x)
；
结论：
出现 nf (x) xf ' (x) 形式，构造函数 F (x) xn f (x) ；
出现 xf ' (x) nf (x) 形式，构造函数 F (x)
f (x) . xn
我们根据得出的结论去解决例 3 题
【例 3】已知偶函数 f (x)(x 0) 的导函数为 f ' (x) ，且满足 f (1) 0 ，当 x 0
时， 2 f (x) xf ' (x) ，则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围是___________
❀❀❀思路点拨：满足“ xf ' (x) nf (x) ”形式，优先构造
F(x)
f (x) xn
然后利用
函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.
【解析】构造
F(x)
f (x) x2
f (1) 0 可得 F (1) 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知
f (x) 0 的解集为 (1,0)(0,1).
【变式提升】设函数 f (x) 满足 x3 f ' (x) 3x2 f (x) 1 ln x ，且 f ( e) 1 ， 2e
则 x 0 时， f (x) （ ）