专题:微分方程构造函数
总括:
①我们把这类方程称为一阶线性齐次微分方程.
②我们把这类方程称为一阶线性非齐次微分方程
在高中数学以及大学考研中,用微分方程构造题目函数不等式是非常凑效的方法.
注意
例题一:定义在上的可导函数满足恒成立,问与的大
小关系.(选择题)
方法一:令满足恒成立,故
方法二:解微分方程
构造
例题二(某市模拟题):定义在上的函数是它的导函数且恒有成立,则( )
方法一:从B选项看出和比较关系,从A选项看出和比较关系.然后猜
测需要构造
方法二:解微分方程
构造函数
注意到故
,选项A错误
,选项B错误
,选项C错误
,选项D正确
例题三:定义在上的可导函数的图像连续,当时,则函数
的零点的个数为
方法一:考察零点个数转化为
的解的个数
构造
故无解,即零点个数为零
方法二:解微分方程
构造函数
有
注意到中故无零点
评价:虽然看上去方法一较方法二简便,但这样做是不是太靠运气了呢?毕竟不一定构造
函数那么简单就可以看出来的.总的来说,解微分方程是最佳的最保险最万能的方法.
例题四(自编题):定义在上的可导连续函数满足时,恒有
且已知函数.则函数
的零点个数为
解:先解微分方程
构造函数
故当时,当时
有无零点
例题五(坏坏悦子寒假做过滴):定义在上的可导连续函数满足
恒成立.请问与零的大小关系
解:
解微分方程
构造
而恒成立
故
特别地,当时代入得
综上有
例题六(高中数学吧):定义在上的可导函数满足:对任意有,且在
有.若求实数范围.
解:陷阱是看到转化为
于是构造,之后就会解题失败….
坏坏悦子只需记住一点,这类函数题,出现函数与导数的不等式,那么就是要解这个微分方程.其他条件先不管它,我们先把构造函数求出来
先解微分方程
构造函数
当时有
[注意到题目有个条件]
从而为奇函数,故在上单调递增
由于即
评价:这题出题人挺阴险的…
接下来是一阶线性非齐次微分方程的题目
首先坏坏悦子要记住一个很长很长的公式((>_<),加油!坏坏悦子最聪明啦)
的解为
……..其中表示对积分…例如
后面的题目坏坏悦子有兴趣的话就看看哇…四川可能不会考,但说不准,毕竟新课改什么情况都有可能发生….
例题七(某地区模拟):定义在上的可导连续奇函数满足当时恒成
立.试比较与大小关系.
方法一:注意到和
方法二:解微分方程
代入公式得到
构造函数
注意分子大于零
那么再注意到
比较与大小关系即比较与
大小关系
显然由单调性知即
例题八(自编题):设为可导连续函数且对
都有则下列说法中一定正确的是________
①
②
③
④
解:先解微分方程
代入公式得
注意到分子小于零,分母大于零,有
逐一验证可知①③④正确
对于②仅由这些条件是不足以推出②的。