三、三角函数（一）填空题1、（2008江苏卷1）()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ． 【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=2、（2009江苏卷4）函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= . 【解析】 考查三角函数的周期知识。

32T π=，23T π=，所以3ω=3、（2010江苏卷10）定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为____________。

【解析】考查三角函数的图象、数形结合思想。

线段P 1P 2的长即为sinx 的值， 且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=23。

线段P 1P 2的长为234、（2010江苏卷13）在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos baC ab+=，则tan tan tan tan C CA B+=_________。

【解析】考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。

一题多解。

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。

当A=B 或a=b 时满足题意，此时有：1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，2tan 2C =， 1tan tan 2tan 2A B C===，tan tan tan tan C CA B+= 4。

（方法二）226cos 6cos b a C ab C a b a b +=⇒=+，2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B CA B C A B C A B C A B+++=⋅=⋅=⋅5、（2011江苏卷7）已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________.解析】221tan 1tan tan 1tan 4tan()2,tan ,2tan 41tan 3tan 2291tan x x x x x x x x x xπ++==∴=∴=-（－）＝＝－. 本题主要考查三角函数的概念，同角三角函数的基本关系式，正弦余弦函数的诱导公式，两角和与差的正弦余弦正切，二倍角的正弦余弦正切及其运用，中档题.6、（2011江苏卷9）函数()sin(),(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则____)0(=f 【解析】由图可知：72,,2,41234T A πππω==-== 7322,2,1223k k πππϕπϕπ⨯+=+=+ 6(0)2sin(2)3f k ππ=+= 由图知：6(0)f =本题主要考查正弦余弦正切函数的图像与性质，sin()y A x ωϕ=+的图像与性质以及诱导公式，数形结合思想,中档题. 7（2013江苏卷1）函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 。

答案：1．π8（2013江苏卷11） 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为 ．【解析】根据4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2571251621)6(cos 2)32cos(2=-⨯=-+=+παπα， 因为0)32cos( πα+，所以 25242571)32sin(2=⎪⎭⎫⎝⎛-=+πα，因为502174sin)32cos(4cos)32sin(]4)32sin[()122sin(=+-+=-+=+ππαππαππαπα. 【点评】重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高. （二）解答题1、（2008江苏卷15）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为225,105． （Ⅰ）求tan(αβ+)的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式． 由条件的225cos ,cos 105αβ==，因为α,β为锐角，所以sin α=725,sin 105β= 因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π2、（2009江苏卷15）（本小题满分14分）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值； （2）求||b c +的最大值; （3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【解析】 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。

满分14分。

3、（2010江苏卷17）（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？【解析】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

（1）tan tan H H AD AD ββ=⇒=，同理：tan HAB α=，tan h BD β=。

AD —AB=DB ，故得tan tan tan H H h βαβ-=，解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--。

因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。

（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H hd AD DB d αβ-====， 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d dαβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+ ()2()H H h d H H h d-+≥-，（当且仅当()125121555d H H h =-=⨯=时，取等号） 故当555d =时，tan()αβ-最大。

因为02πβα<<<，则02παβ<-<，所以当555d =时，α-β最大。

故所求的d 是555m 。

4、（2010江苏卷23）（本小题满分10分） 已知△ABC 的三边长都是有理数。

（1）求证cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数。

【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。

（方法一）（1）证明：设三边长分别为,,a b c ，222cos 2b c a A bc +-=，∵,,a b c 是有理数，222b c a +-是有理数，分母2bc 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴2222b c a bc+-必为有理数，∴cosA 是有理数。

（2）①当1n =时，显然cosA 是有理数；当2n =时，∵2cos22cos 1A A =-，因为cosA 是有理数， ∴cos2A 也是有理数； ②假设当(2)n k k ≤≥时，结论成立，即coskA 、cos(1)k A -均是有理数。

当1n k =+时，cos(1)cos cos sin sin k A kA A kA A +=-，1cos(1)cos cos [cos()cos()]2k A kA A kA A kA A +=---+，11cos(1)cos cos cos(1)cos(1)22k A kA A k A k A +=--++，解得：cos(1)2cos cos cos(1)k A kA A k A +=--∵cosA ，cos kA ，cos(1)k A -均是有理数，∴2cos cos cos(1)kA A k A --是有理数， ∴cos(1)k A +是有理数。

即当1n k =+时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数n ，cosnA 是有理数。

（方法二）证明：（1）AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知222cos 2AB AC BC A AB AC+-=⋅有理数。

（2）用数学归纳法证明cosnA 和sin sin A nA ⋅都是有理数。

①当1n =时，由（1）知cos A 是有理数，从而有2sin sin 1cos A A A ⋅=-也是有理数。

②假设当(1)n k k =≥时，cos kA 和sin sin A kA ⋅都是有理数。

当1n k =+时，由cos(1)cos cos sin sin k A A kA A kA +=⋅-⋅，sin sin(1)sin (sin cos cos sin )(sin sin )cos (sin sin )cos A k A A A kA A kA A A kA A kA A ⋅+=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅，及①和归纳假设，知cos(1)k A +和sin sin(1)A k A ⋅+都是有理数。

即当1n k =+时，结论成立。

综合①、②可知，对任意正整数n ，cosnA 是有理数。

5、（2011江苏卷15）．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,（1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值. 【解析】本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力。