2
粘 性 阻 尼 自 由 振 动
Cx Kx 0 M x
x e ( x0 cos nd nx0 x 0 sin nd t )
nt

n
n

C ， Cc 称为临界阻尼系数，对数衰 Cc
nd
减率表征阻尼对系统的能量耗散快慢程度
Ln
xm Ae nt m e nTd xm1 Aentm Td
并联弹簧：
Ke K1 K2
串联弹簧：
Ke
K1 K 2 K1 K 2
1 V真实＝V等效＝ K e x 2 K e 2
2、求如图所示系统的自由振动的频率
2 解：k e = = k； 1 1 3 2k k
1
ke 2K wn = = me 3M
3、求等效刚度Ke
解:等效系统简图: Mk=w 由图可求:k 1 1 (a+b)=w.b 1 =
1 机械振动的分类
自由度
单自由度 多自由度
阻尼 无阻尼
外激力 自由
响应 简谐
粘性阻尼 流体阻尼 摩擦阻尼
强迫 自激 参数
周期 瞬态 随机
连续体
振 动 类 型 无 阻 尼 自 由 振 动
力学模型
振动方程及响应
典型响应曲线
主要特性
Kx 0 M x x x x0 cos n t 0 sin n t
sin nt
xst sin n t sin t 2 2 n 1 1 n n

1 (
1
2 ) n
n ，共振
接近 n ，拍振
n C 2n ， nd n 1 ，阻尼比 M n
n
K g M
2、等效法
2 M e 动能：T真实＝T等效＝ M e x
2 势能：V真实＝V等效＝ K e x K e
1 2
1 2
n
Ke Me
3、能量法
Tmax
Vmax
1 KA2 2
1 M n 2 A 2
Vmax Tmax n
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 二、等效刚度计算方法
A sin(t )
第一项为自由振动项， 完全由初始条件 决定； 第二项称为伴随自由振动项， 它 由干扰力引起， 但其振动频率为有阻尼 自由振动频率， 这两项均为自由振动部 分；第三项是干扰力引起的纯强迫振 动， 是频率与干扰力频率相同的简谐振 动。

1 (1 ) (2 ) 2
简 谐 激 力 下 的 粘 性 阻 尼 系 统 强 迫 振 动
Cx Kx P0 sin(t ) M x
x(t ) e nt ( x0 cos nd t 0 nx0 x
nd
sin nd t )
ent A[sin( ) cos nd t
②
1 Mr 2 是滑轮的惯性矩。 2
在静平衡位置， mgr kr 20 ，因此②变为：
1 r (mg mx ) kr 2 mgr Mr 2 2
代替 ，运动方程变为： x 用 r 代替 x ， r
1 kr 2 0 ( Mr 2 mr 2 ) 2
2 2
任 意 激 力 下 系 统 强 迫 振 动
x0 cos nd t t nt x(t ) e x 0 nx0 sin tt nd nd
1 M nd
当力的作用时间 t1
T ，最大动力响应发生在 2
t
P( )e
o
t
n ( t )
n 系统振动的固有频率。 n 2f =
g
＝
K = M

Ke Me
稳态强迫振动的振幅 A 和静态力作用下的位移的 无 阻 尼 强 迫 振 动
Kx P0 sin t M x
x x0 cos nt xst xo
.
关系： A xmax xst 动力放大系数
n
1.阻尼强迫振动的振幅与初始条件无关，并 且不随时间 t 而变。 2.阻尼强迫振动的频率与干扰力的频率相 同，与阻尼无关。 3.与无阻尼强迫振动情况一样，有阻尼强迫 振动的振幅比系统在静力 P0 作用下引起的静位 移 x st 大 倍（ 称为动力放大系数） 。
cos( ) n sin( ) sin nd t ] nd
转动问题： 1）列力的动平衡方程 2）列矩的动平衡方程 3）得运动方程 4）定义求固有频率
所以，固有频率 n
k M /2m
5下图表示一质量 m系在弦上并具有张力 T。假定小变形，振动时张力不 变，求弦在铅锤方向振动的固有频率。
解： 张力为常数，小变形，故复原力为： T [ x / a x /( L a)] 应用牛顿第二定律，得运动方程： T [ x / a x /( L a)] 0 ，即 mx TL /[a( L a)]x 0 mx
k e 3 w ；
k1 k 2 (a b) 2 ke 2 a k1 b 2 k 2
4、求下图所示弹簧-质量-滑轮系统的固有频率。
① 解：用牛顿定律，对质量 m： mg T mx
Tr kr 2 ( ) 对滑轮 M： J0 0
式中， J 0
sin nd (t )d
T 处，反之由在力的作用结束之后出现。 2
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 二、固有频率求法 1、静伸长法
w b k1 a b a w k 2 2 (a+b)=w.a 2 = K2 a b b .( 1 2 ) 3 = 2 + ab w.a b b a + ( ) 3 = 2 k 2 ( a b) ( a b ) k1 1 kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
w(a 2 k1 b 2 k 2 ) 3 = k1k 2 (a b) 2