实数的概念
课时目标
1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类；
2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根；
3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系.
知识精要
1. 无理数的定义
无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪
⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数
负无理数 4. 平方根的定义
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即
2x a =，那么x 就叫做a 的平方根.
5. 平方根的性质与表示
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根.
（2）正数a 的两个平方根可以用
“
a 的正平方根，叫做
a 的正平方根，也叫做a
的算术平方根；a 的负平方根.
6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.
7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.
8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…；
； 第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0．
12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义
如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数.
14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质
（1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示；
（2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在；
（4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”.
热身练习
1. 将下列各数填在相应括号内：
π， 3
2
， 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-， 有理数集合{ …}； 整数集合 { …}； 正数集合 { …}； 分数集合 { …}； 实数集合 { …}； 2. 判断 （1）无限小数都是无理数
（ ） （2）无理数都是开方开不尽的数 （ ） （3）不带根号的数都是有理数 （ ） （4）带根号的数都是无理数
（ ）
3.（1
（2）写出一个比－1大的负有理数是 ，比－1大的负无理数是 . 4. 在实数范围内，下列方根是否存在？如果存在，用符号表示这些方根，并求出它的值.
（1）－16的四次方根 （2）16的四次方根 （3）－32的五次方根 （4）28-的六次方根 （5）－0.00243的五次方根 （6）2(27)-的六次方根
5. 求下列各数的平方根 （1）121 （2）
64
9
（3）0.0009 （4）361
6．求下列各数的算术平方根
（1）81 （2）16
25
（3）289 （4）0.0001
7．求下列各数的值.
（1（2）（3）2
8. 求下列各式的值
（1）2（2）2(0)
a>
（3）2
((0)
a>（4
（50)
a>（6)
a是实数
9. 一个正数的两个平方根为2a+1,5－a求这个数.
10. 已知a的两个平方根,x y为322
x y
+=的一组解，求a的平方根.
11. 求下列各数的立方根.
（1）－64 （2）343 （3）1
918
- （4）0.729
12. 求下列各式的值
（1） （2） （3
13. 解简单的高次方程
（1）16842
=-x （2）81)3(42=-x
（3）39
18
x += （4）3(1)27x +=-
（5）60444=-x （6）7645
=x
精解名题
例1 如图，四个同样大小的正方形排列在一起面积和是80，求小正方形的边长.
例2 用移位法求平方根
被开方数的小数点向右（或左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一位.
2.236≈7.071≈，求下列各式的值.
（1）≈ （2）≈
（3）
≈ （4≈
注意: 被开方数平方根移动的位数与方向. 第一: 小数点是同向移动；
第二: 被开方数移动的位数是平方根移动的位数的2倍.
例3 用移位法求立方根
被开方数的小数点向右（或左）移动 位，它的立方根的小数点相应地向右（向左）移动 位.
若3333330029.0290002906619.029.0072.329426.19.2，，，求，，
-≈≈≈的值. .
巩固练习
一、填空
1.把下列各数分别填到相应的数集里边
-
52，3π 3.14，01-，2
1
整数集合 { …}； 无理数集合{ …}； 有理数集合{ …}；
2．如果9=x ，那么x ＝_______；如果92=x ，那么=x _______． 3．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_______． 4．算术平方根等于它本身的数有______，立方根等于本身的数有______．
5. x ==则 ，若,x x =-=则 . 6．81的平方根是_____， 210-的算术平方根是 ．
7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则a = ，这个正数是 ． 8．21++a 的最小值是_______，此时a 的取值是_______．
二、选择题
1. 下列说法正确的个数是（ ）
（1）无理数都是实数 （2）实数都是无理数 （3）无限小数都是有理数 （4）带根号的数都是无理数
（5）除了π之外不带根号的数都是有理数.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 若2x a =，则（ ）
A.0x >
B. 0x ≥
C. 0a >
D. 0a ≥ 3．2)3(-的值是（ ）
A ．3-
B ．3
C ．9-
D ．9
4．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ）
A ．1
B ．9
C ．4
D ．5 5．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ）
A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤
7. 若n 为正整数,则
2等于（ ）
A ．－1 B.1 C.±1 D.21n + 8. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）
A.01a <<
B.0a >
C. 1a <
D. 1a >
自我测试
一、填空
1. 把下列各数分别填到相应的数集里边
2π，－3.1415926927，103，，7
2
-，0.2010010001-L ，
1.732，
有理数{ …} 无理数{ …} 非负实数{ …}
2.()33
2-= ，
(
)
3
3
7-= .
3.64
1
-
的立方根是 . 4.－0.001的立方根是 ；－1的9次方根是 .
5.()=-55
3 ；36
3）（-= .
二、选择题
1.
（ ）
A. 9
B. ±3
C. 3
D. －3 2. 下列计算正确的是（ ）
A.
= B.
2=- C.
3=± D.
2=
3. 下列各数中，没有平方根的是 （ ）
A ．－2 B. 0 C. 1
3
D.
4．下列实数31
7
，π-，3.14159 ，，21中无理数有（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
5．下列各式中，无论x 取何实数，都没有意义的是（ ）
A
B ．
C
D
6．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）
A ．2--
B ．4-与
C ．
D ．
三、计算 1、求值
（1） 49
144
的平方根 （2）
（3） （4）
（5） 0.0036的平方根 （6）
（7） （8）641-的立方根
（9）()次方根的531277
⎪⎭⎫ ⎝⎛-
（10） ()次方根的421.12
-
2、解方程
（1）
272=x （2）0183
=-x
（3） ()2512
=-x ； （4）()016223
=++x .。