《数值分析》报告运用Matlab求解非线性方程的根
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1. 目的
掌握非线性方程求根的方法，并选取实例运用MATLAB 软件进行算法的实现，分别用牛顿法、弦截法和抛物线法求非线性方程的根。
2. 报告选题
报告选取《数值分析（第四版）》290页习题7作为研究对象，即求
3()310f x x x =--=在02x =附近的根。
根的准确值* 1.87938524...x =，要求结果准确到四位有效数字。
（1） 用牛顿法；
（2） 用弦截法，取02x =，1 1.9x =； （3） 用抛物线法，取01x =，13x =，22x =。
3. 理论基础 (1) 牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为
1()
,0,1,2,...'()k k k k f x x x k f x +=-
=
其迭代函数为
()
()'()f x x x f x ϕ=-
牛顿迭代法的收敛速度，当(*)0,'(*)0,''(*)0f x f x f x =≠≠时，容易证明,'(*)0f x ≠，
''(*)
''(*)0
'(*)f x x f x ϕ=≠，牛顿迭代法是平方收敛的，且 12''(*)lim 2'(*)k k k e f x e f x +→∞=。
（2）弦截法
将牛顿迭代法中的'()k f x 用()f x 在1k x -，k x 处的一阶差商来代替,即可得弦截法
111()
()
()()k k k k k k k f x x x x x f x f x ++-=-
-- 。
（3）抛物线法
弦截法可以理解为用过11(,()),(())k k k k x f x x f x ---两点的直线方程的根近似替
()0f x =的根。
若已知()0f x =的三个近似根k x ，1k x -，2k x -用过
1122(,()),(,()),(,())k k k k k k x f x x f x x f x ----的抛物线方程的根近似代替()0f x =的根，所得的
迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法。
4.MATLAB实现
根据牛顿法、弦截法和抛物线法求非线性方程根的理论基础，为实现计算在MATLAB中编写了以下M文件：
（1） f.m,题目中的函数f
function y=f(x)
y=x^3-3*x-1;
（2） d.m,函数f的导数
function y=d(x)
y=3*x^2-3;
（3）newton.m，牛顿法
function newton(f,d,x0,e,max)
%f 是要求根的方程(f(x)=0);
%d 是f(x)的导数；
%x0是所给初值,位于x*附近；
%e是给定允许误差；
%max是迭代的最大次数；
%x1是newton法求得的方程的近似解；
%err是误差估计；
%k是迭代次数；
%y是f(x)值；
k=0;
y=feval('f',x0);
fprintf('k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.6e\n',k,k,x0,k,y)
for k=1:max
x1=x0-feval('f',x0)/feval('d',x0);
err=abs(x1-1.87938524);
x0=x1;
y=feval('f',x0);
fprintf('k=%.0f x%d=%.8f e%d=%.6e y%d=%.6e\n',k,k,x0,k,err,k,y) if (err<e)|(y==0)|(k==max)
break;
end
end
（4）xjmethod.m弦截法
function xjmethod(f,x0,x1,e,max)
%f 是要求根的方程(f(x)=0);
%x0,x1是所给初值,位于x*附近；
%e是给定允许误差；
%max是迭代的最大次数；
%x1是弦截法求得的方程的近似解；
%err是误差估计；
%k是迭代次数；
%y是f(x)值；
fprintf('k=%.0f x%d=%.8f
y%d=%.8e\n',0,0,x0,0,feval('f',x0))
fprintf('k=%.0f x%d=%.8f
y%d=%.8e\n',1,1,x1,1,feval('f',x1))
for k=2:max
x2=x1-(feval('f',x1)*(x1-x0))/(feval('f',x1)-feval('f',x0));
err=abs(x2-1.87938524);
x0=x1;
x1=x2;
y=feval('f',x1);
fprintf('k=%.0f x%d=%.8f e%d=%.6e y%d=%.8e\n',k,k,x1,k,err,k,y) if (err<e)|(y==0)|(k==max)
break;
end
end
（5）pwxmethod.m抛物线法
function pwxmethod(f,x0,x1,x2,e,max)
%f 是要求根的方程(f(x)=0);
%x0,x1，x2是所给初值,位于x*附近；
%e是给定允许误差；
%max是迭代的最大次数；
%x3是弦截法求得的方程的近似解；
%err是误差估计；
%k是迭代次数；
%y是f(x)值
fprintf('k=%.0f x%d=%.8f
y%d=%.8e\n',0,0,x0,0,feval('f',x0))
fprintf('k=%.0f x%d=%.8f y%d=%.8e\n',1,1,x1,1,feval('f',x1)) fprintf('k=%.0f x%d=%.8f
y%d=%.8e\n',2,2,x2,2,feval('f',x2))
for k=3:max
f0=feval('f',x0);
f1=feval('f',x1);
f2=feval('f',x2);
a=(f0-f2)/(x0-x2);
b=(f1-f2)/(x1-x2);
c=(a-b)/(x0-x1);
w=b+c*(x2-x1);
if w<0
x3=x2-(2*f2/(w-sqrt(w^2-4*c*f2)));
elseif w>0
x3=x2-(2*f2/(w+sqrt(w^2-4*c*f2)));
end
err=abs(x3-1.87938524);
x0=x1;
x1=x2;
x2=x3;
y=feval('f',x2);
fprintf('k=%.0f x%d=%.8f e%d=%.6e y%d=%.8e\n',k,k,x2,k,err,k,y) if (err<e)|(y==0)|(k==max)
break;
end end
5. 运行结果
图1 运行结果界面
（1）牛顿法计算结果
k k x
k e k y
0 2.00000000
1.000000e+000 1 1.88888889 9.503649e-003 7.270233e-002 2
1.87945157
6.632695e-005
5.038501e-004
即*2 1.87945157x x ≈=，误差为6.632695e-005。
（2）弦截法计算结果
k k x
k e k y
0 2.00000000 1.000000e+000 1 1.90000000
1.59000000e-001 2 1.88109394 1.708696e-003 1.29961633e-002 3
1.87941106
2.582017e-005
1.96128714e-004
即*3 1.87941106x x ≈=，误差为2.582017e-005。
迭代法是解非线性方程的主要方法，牛顿法就是最有效的迭代法之一，它在单根附近具有较高阶的收敛速度。
而弦截法用差商代替导数，对于较复杂的函数运算变的方便。
抛物线法也是超线性收敛的，适用于求多项式的实根和复根。
通过本次报告加深了对牛顿法、弦截法和抛物线法求解非线性方程根的理解，同时掌握了MATLAB强大的计算功能，增强了对数值分析课程的学习兴趣。
参考文献
[1] 李庆扬.数值分析（第四版）北京:清华大学出版社,施普林格出版社.2001.
[2] 胡学林.可编程控制器教程.北京:机械工业出版社,2003.。