三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径
1、直角三角形
如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就
是直角三角形的斜边.
例 1 已知：在AABC 中.AB=13, BC = 12, AC=5 求
AABC 的外接圆的半径.
解:VAB=13, BC = 12, AC=5, .-.AB 2=BC :+AC \
A ZC = 90° ,
.•.AB 为△ ABC 的外接圆的直径，
•••△ABC 的外接圆的半径为.
2、一般三角形
① 已知一角和它的对边
例 2 如图，在ZXABC 中，AB=10, ZC=100° , 求
AABC 外接圆00的半径.（用三角函数表示） 分析：
利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径
BD,连结AD.
则ZD=180° -ZC=80Q , ZBAD=90°
.•沏=竺=旦
sinD sin 80° ••.△ABC 外接圆。

的半径为盘
注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一
边，都可以利用本题的方法求岀三 角形的外接圆的半径.
例 3 如图，已知，在AABC 中，AB = 10,
ZA=70° , ZB=50° 求AABC 外接圆00的半径.
分析：可转化为①的情形解题.
解：作直径AD ，连结BD.
则ZD=ZC=180° -ZCAB-ZBAC=60° , ZDBA=90°
•••△ABC 外接圆O0的半径为¥厲・
② 已知两边夹一角
例 4 如图，已知.在AABC 中，AC=2, BC=3, ZC=60° 求AABC 外接
圆00的半径.
分析：考虑求岀AB,然后转化为①的情形解题.
解：作直径AD ，连结BD •作AE 丄BC,垂足为E.
则 ZDBA=90° , ZD=ZC=60° , CE=1AC=1, AE=的，
/.AD= AB 10 sinD sin
60° BE=BC-CE=2, AB= y/AE 2 + BE 2
= 41 r
c
A AABC 外接圆OO 的半径为.
③ 已知三边
例 5 如图，已知，在AABC 中，AC = 13, BC = 14, AB=15 求AABC
外接圆O0的半径.
分析：作出直径AD,构造RtAABD.只要求出AABC 中BC 边
设 CE=x, VAC^CE^AE^AB^BE 2 A 13:-x :=15:-(14-x)2 x=5,即 CE = 5 /.AE=12 A —=4 AD= —
•••△ABC 外接圆00 的半径为竺.
二、求三角形的内切圆的半径 1、 直角三角形
例 6 已知：在ZkABC 中，ZC=90° , AC=b, BC=a, AB = c 求AABC 外接圆O0的半径.
解：可证四边形ODCE 为正方形.设O0的半径为r, 则 CD=CE=r, BD=a-r, AE=b-r, (a-r) + (b-r) =c,
•"二匕导，即AABC 外接圆00的半径为好工.
2 2
2、 一般三角形
①已知三边
例 7 已知：如图，在ZkABC 中，AC = 13, BC = 14, AB=15
求ZXABC 内切圆Q0的半径r.
分析：考虑先求出AABC 的面积，再利用“而积桥”，从而
~
求出内切圆的半径.
解：利用例5的方法，或利用海伦公式S A = Vs(s-a)(s-b)(s-c)(其中s 二斗王)可求 出
Ssc=84,从而丄 AB ・r+丄 BCr+丄 ACr 二84, Z.r=4
例 8 已知：如图，在AABC 中，cotB=i ,AB = 5, BC=6
求AABC 内切圆Q0的半径=
分析：考虑先通过解三角形，求出AABC 的而积及AC 的长, 再利用“而积桥S 从而求出内切圆的半径.
解：作AABC 的高AD.解直角三角形可得AD=3, CD=2, AC= V13 ,
••• AADB^AACE ••• AADB^AACE
AD AB 上的髙AE,利用相似三角形就可以求出直径AD. 解：作直径AD ，连结
BD.作AE 丄BC,垂足为E. 则ZDBA=ZCEA=90° , ZD=ZC
2 2 ②已知两边夹一角
因为丄AB T+1 BCr+丄AC・r二丄BC・AD,可求得r」卜血
③已知两角夹一边
例9 已知：如图，在Z\ABC 中，ZB=60° , ZC=45° ,BC=6
求AABC内切圆00的半径r.（精确到
分析：思路方法同上，读者可完成.
总之，只要通过边、角能确左三角形，就可以借鉴上而的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。