任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法
圆与三角形有着密不可分的关系，对于任意一个三角形来说，三角形是圆的内接三角形或是外切三角形。

而对于圆来说，三角形必定有它的外接圆和内切圆。

那么三角形的各边数量关系与其对应的圆的半径有着怎样的一种关系呢？下面就上述问题作一探索。

一、特殊三角形―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。

例1、已知R t △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。

解：由题意得；2132==c R ；22
131252=-+=-+=c b a r 。

二、非特殊三角形的外接圆和内切圆半径的求法。

例2、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝14，BC ＝15，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。

解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝15－x 。

由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2，
即：()2222151413x x --=-，得x=5
33； 再得：AD ＝5
56， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++=
∆21 得：()r 1514132
15561521++=⨯⨯ 得： r ＝4 ；
2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于
E ，连接CE 。

则△ABD ∽△AEC ， 则AC AD AE AB = ，即14
556
213=R ，得R ＝865。

例3、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝25，BC ＝17，求
外接圆半径R 和内切圆半径r 值。

解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝17－x 。

由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即：()()2222172
513x x --=-，得x=12； 再得：AD ＝5，
1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++=
∆21 得：()r 2517132151721++=⨯⨯ 得： r ＝2
26- ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE 。

则△ABE ∽△ADC ， 则AC AE AD AB = ，即252513R = ，得R ＝2
213。

三、小结
例2和例3中，求三角形内切圆半径是通过()r c b a s ABC ++=
∆21公式，根据三角形的面积和周长来达到目的。

求三角形外接圆半径是通过三角形相似来计算的。

它们有一共同的特征就是要求出一条边上的高线。

例2和例3中的三角形分别是锐角三角形和钝角三角形，为了避免在计算中分类的问题，可统一为选择最长的一边为底边，再计算这条边上的高线即可,这时就不需考虑这个三角形是锐角还是钝角三角形的问题。

2009-1-6。