正应变
棱边长度的改变量与原棱长之比 。以线段伸 长为正，线段缩短为负。
切应变
原来成直角的两棱之间角度的改变量。以角 度减小为正，以角度增大为负。
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4）泊松比
六个应力分量与六个应变分量之间，均遵循胡克定 律:σij=cijε。式中cij为弹性模量，是量度材料抵抗 弹性变形能力的物理量。
一般情况下，任意一点存在36个常数cij值。晶体的对称 性越强，独立的弹性常数数目越少。在弹性连续介质中， 只有2个独立的பைடு நூலகம்ij值，工程上分别用E、G标记:
位错中心部分畸变程度最为严重，超出了弹性应变范 围，不讨论。仅讨论中心区以外的弹性畸变区，借助 弹性连续介质模型。假设：晶体是各向同性的均匀连 续弹性介质，位错处在无限大的连续介质中。
优点
模型简单
缺 点 中心区不适用，忽略晶体结构的影响
11
1）刃位错的应力场
① 应力场模型
1. 在圆柱体中心挖出一 个半径为rO的小洞
用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过M点截
取一个平行六面体单元,如图所示
xy
该分量的指向
x
z zx
zz zy yz
所在面的法向
xz xy yx xx
yy y
yy
两脚标相同——正应力
yz
z
yx
zy
xy
zx
xz
xx
y
两脚标不同——切应力
x zz
5
应力的正负号
Z zz
yy z
2. 沿xoz平面从外部切 通至中心
3. 在切开的两面上加外 力，使其沿x轴作相 对位移b;再把切开的 面胶合起来
4. 撤去外力
这样的圆柱体与包含一个刃型位错的晶体相似。 12
② 应力场的特点
正应力： xx
D
y(3x 2 y 2 ) (x2 y2 )2
yy
D
y(x2 y2 ) (x2 y2 )2
zy
zx
xy
yx
yz
xz
O
xy
xx
zy
zx
xx
xz yz yx
dz yy
Y
dx
OX
dy zz
y
x
正面正方向为正，负面负方向为正
正面负方向为负，负面正方向为负
6
圆柱坐标：用z轴、 ρ方向及θ角来描述 为表示任一点应力 状态也是取一个体 积元，其上的应力 分量也有9个，3个 正应力 ,6个切应力
7
3）应变
σθr
② 在XZ剖面上θ=0，cosθ=1
D B
③当剖面从r到(r+dr)处， 产生位移db(r)所做功：
④当剖面从r0处扩展到
R
R处，db从0变到b所功:
单位长度的刃错线总能量（应变能）：
W刃
Gb2
4 (1)
ln
R r0
17
2）螺型位错的应变能
在XZ剖面的应力为:
单位长度的螺错线能量：
σθz
W螺
Gb2
4
ln
R r0
半原子面上或与滑移面成45°的晶面上，无切应力。 13
2）螺型位错的应力场
① 应力场模型与函数
沿xz平面剖开使之沿z轴产生相对位移b，然后再粘合。当然 也要挖去位错线附近的严重畸变区域。
xz
zx
b 2
x2
y
y2
yz
zy
b 2
x2
x
y2
xx yy zz xy yx 0
14
② 应力场的特点
E为正应变弹性模量，也叫杨氏模量： ii Eii
G为切应变弹性模量，也叫切变模量： ii Gii
E和G之间存在如下关系：E=G/2(1-ν)，其中ν是表示
纵横变形茉系的参量，称为泊松比
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5）应变与位移的关系
z
uz
uz z
dz
F
ux dz z
F’
E
dz A’
uz
A
C
z
dx
x ux
E’
xx
ux x
只有切应力分量（σθz、σz
），而无正应力。
θ
螺型位错的应力场，是对称于位错线的。所产生
的切应力大小只与r的大小有关，即只与离位错
线的距离成反比，而与θ无关。
柱坐标表达 式
z
z
z
b 2r
r r zr rz 0
rr zz 0
15
4.3 位错的应变能
位错在周围晶体中引起畸变，使晶体产生畸变能，这 部分能量称为位错的应变能。
zz ( xx yy )
切应力： xy
yx
D
x(x2 y2 ) (x2 y2 )2
xz zx yz zy 0
其中：D b
2 (1 )
同时存在着正应力与切应力; 刃型位错的应力场，对称于多余半原子面; 滑移面上无正应力，只有切应力，且其切应力最大。
正刃型位错的滑移面上侧，在x方向的正应力为压应力; 滑移面下侧，在x方向上的正应力为拉应力
p lim F
A0 A
m-m截面上P 点的全应力 3
1 单元体的概念
变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元
在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体
z
单元体是变形体
的最基本模型
y
z
x 单元体的三对表面：
y
正面：外法向与坐标轴同向
负面：外法向与坐标轴反向 x
4
2 应力分量
为了表达弹性体内部任意一点M 的应力状态，利
1
4.1 弹性力学基础知识
1）弹性连续介质
所谓弹性连续介质，是对晶体作了简化假设之后提 出的模型：
(1) 晶体是完全弹性体，因此服从胡克定律； (2) 晶体是各向同性的，因此其弹性常数（弹性模 量、泊松比等）不随方向而变化； (3) 晶体内部由连续介质组成，因此晶体中的应力、 应变、位移可用连续函数表示。
2
物体在受力状态下，其内部不同部分之间互相产生作用
2）应力
力，这种作用力称为内力。作用在某点处的内力，在该
点的微面积上的集度p，叫该点处的应力。
F
FS FN A
在 m-m截面上P点处定义：
lim FN
A0 A
m-m截面上P 点的正应力
p
A
lim FS
A0 A
m-m截面上P点的 切应力（剪应力）
与位错的畸变相对应，位错的能量也可分为两部 分：一是位错中心畸变能；二是位错中心以外的 能量即弹性应变能 。
根据点阵模型对位错中心能量的估算得：弹性应 变能占总能量的90%，所以位错中心畸变能可忽 略不计，即通常用弹性畸变能表示位错的应变能。
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1）刃型位错的应变能
C
R
A
① 形成图示的位错的功，可以 理解为XZ剖面ABCD两边晶体在 切应力σθr作用下产生相对 位移u=b所做的功。 刃型位错在XZ剖面的应力:
；
xy
ux y
uy x
C’
uz dx x
yy
u y y
；
yz
u y z
uz y
x
zz
uz z
；
zx
uz x
ux z
ux
ux x
dx
该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的 关系，称为几何方程，也称为柯西（Augustin-Louis Cauchy）几何关系。
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4.2 位错的应力场