第 4 讲巧数长（正）方形的个数
数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复，一般步骤应是：仔细观察，发现规律，应用
规律。

方形是用“点”或者“ ”来数的，而正方形是用“ ”来数的。

数长方形的公式：长边上的线段和×宽边上的线段和
数正方形的公式：1、一个被划分成m× n 的小正方形的方形中共可以数出的正方形的个数是：
m× n＋（ m-1）×（n-1 ）＋（ m-2）×（ n-2 ）＋⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＋1×【 n- （ m-1）】（其中m<n）
2 、当m=n ，即一个划分成n× n=n2 个小正方形的正方形中，共可以数出正方形的个数是：n2＋（ n-1 ） 2 ＋⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＋22＋ 12
典型例题：
1、长方形的构成必须有长和宽，下图中有许多长方形，你能数出它们有多少个
分析与解答 :
因为长方形的构成与长的线段数有关，也与宽的线段数有关，所以数长方形的个数必须要看长与宽
两个因素。

上图上长有 6 条线段，即 3＋2＋1=6（个）宽边上有 3 条线段，即2＋1=3（个）
因此，根据数长方形公式：6×3=18（个）
答：上图中共有 18 个长方形。

2、下图中共有多少个长方形
分析与解答：
这道题比例 1 横竖都多了一条线，那么长方形的个数明显增多了，利用公式仍然要数出长边上的
线段数和宽边上的线段数即
长边上的线段和： 4＋3＋2＋1＝10 个宽边上的线段和：3+2+1=6个
因此根据数长方形公式：10×6=60 个
答：上图中共有60 个长方形。

3、下图中共有多少个正方形
分析与解答：
我们先来数一数：只含一个正方形的有 9 个（即 3×3=9）；含有 4 个正方形的有 4 个（即
2×2=4）；含有 9 个正方形的有 1 个。

通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为 1×1+2× 2+3× 3=1+4+9=14个，以后我们碰到类
似的题目可以用这种方法数出正方形的个数。

4、下图中共有多少个正方形
分析与解答：
这道题显然与上题不一样，虽然都是由基本小正方形组成，但长和宽里的个数不一样，即小正方
形拼接成了一个长方形，那么方法也要有所改变。

先看长边上小正方形的个数，有 5 个，再看宽边上小正方形的个数，有 3 个，我们还用数的方法试试，只含有一个小正方形的有3×5=15 个，含 4 个小正方形的有（ 3-1 ）×（ 5-1 ）=8 个，含 9 个小正方形的有（ 3-2 ）×（ 5-2 ）=3 个，通过刚才的数，我们发现图中正方形的个数为：
3×5＋（ 3-1 ）×（ 5-1 ）＋（ 3-2 ）×（ 5-2 ）=26
个答：图中共有 26 个正方形。

5、数一数，下图中共有多少个长方形
分析与解答：
这道题和前4 个题不同，不是横竖规范的分割，这道题意在提醒同学遇到问题不能思维定式，不能按上面所讲的规律求解，我们可以用枚举法找出个数，灵活解决问题，先给图中每个基本图形编上序号。

①②
③④
⑤⑥
再分类数一数：
（1）、6 个基本图形中有 4 个长方形：①、③、④、⑥
（2）、由两个基本图形组成的长方形有 3 个：② +④、③ +⑤、③ +④
（3）、由 3 个基本图形组成的长方形有 2 个：① +③+⑤、② +④+⑥
（4）、由 6 个基本图形组成的长方形有 1 个：① +②+③+④+⑤+⑥
所以上图中共有长方形： 4+3+2+1=10个
答：上图中共有 10 个长方形。

基础练习：
1、下图中共有多少个长方形
2、下图中共有多少个长方形
3、下图中共有多少个正方形
4、下图中共有多少个正方形
5、下图中共有多少个正方形
提高练习：
1、数一数图中长方形的个数
2、数一数下图中有多少个正方形
3、下图中共有多少个正方形
4、下图中共有多少个正方形。