量子力学试题(1)(2005)姓名 学号 得分一. 简答题（每小题5分，共40分）1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=，写出粒子位于dx x x +~间的几率。
2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。
3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：∑=nn n x c x )()(ψψ，写出展开式系数n c 的表达式。
4. 给出如下对易关系：[][][]?,?,?,===z xy z L Lp x p z5. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j的表达式。
6. 一维运动中，哈密顿量)(22x V mp H +=，求[][]?,?,==H p H x7. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨⎧><∞<<=ax x a x x V 2,0,20,0)(中运动，写出其状态波函数和能级表达式。
8. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态：b b b B =，本征值0≠b 。
求在态b 中，算符A 的平均值。
二. 计算和证明题1. 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
2. 考虑如下一维波函数：0/0()nx x x x A e x ψ-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 其中0,,A n x 为已知常数。
利用薛定谔方程求位势()V x 和能量E 。
对于它们，该波函数为一本征函数（已知当,()0x V x →∞→）。
3.一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向0=x 处的势阶运动。
当0≤x 时，该势为0；当0>x 时，该势为 E 43。
问在0=x 处粒子被反射的的几率多大？（15分）0 X4.设粒子处于()ϕθ,lm Y 状态下，1)证明在的本征态下，0==y x L L 。
（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L 求平均。
）2)求()2x L ∆和()2yL ∆(附加题)5. 设),(p x F 是p x ,的整函数，证明[][]F , F,,pi F x x i F p ∂∂=∂∂-=整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞==0,),(n m n m mnp x Cp x F 。
量子力学试题(1)(2005)姓名 学号 得分一、 简答题（每小题5分，共40分）1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=，写出粒子位于dx x x +~间的几率。
解： ⎰⎰+∞∞-+∞∞-2)(r dz dy dxψ。
2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。
解： )0(2)0()0(2ψγψψm -='-'-+。
3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：∑=nn n x c x )()(ψψ，写出展开式系数n c 的表达式。
解： ()dx x x x x c nn n ⎰==)()()(,)(*ψψψψ。
4. 给出如下对易关系：[][][]?,?,?,===z xyz L Lp x p z解： [][][]y z xyz L i L Lp x i p z-===,0,,5. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j的表达式。
解：单位时间内通过与粒子前进方向垂直的单位面积的几率称为几率流密度。
()**2),(ψψψψ∇-∇-=mi t r j6. 一维运动中，哈密顿量)(22x V mp H +=，求[][]?,?,==H p H x解：[][])(,,,x V dxd i H p mp i H x -==7. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨⎧><∞<<=ax x a x x V 2,0,20,0)(中运动，写出其状态波函数和能级表达式。
解：,02()20,02n xx a x ax x aπψ<<=<>⎩或22228n n E a πμ=8. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态：b b b B =，本征值0≠b 。
求在态b 中，算符A 的平均值。
解：{},0A B AB BA =+=，{}0,2A B b AB b b BA b b A b ∴==+=。
但0≠b ，从而有0A A b ==，即在态b 中，算符A 的平均值为零。
二. 计算和证明题1.设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π,3,2,1,,=z y x n n n2. 考虑如下一维波函数：0/0()nx xx x A e x ψ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0,,A n x 为已知常数。
利用薛定谔方程求位势()V x 和能量E 。
对于它们，该波函数为一本征函数（已知当,()0x V x →∞→）。
解: 定态S.eq 为)()()(2222x E x x V dx d m ψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+- ， （2） 对题给)(x ψ求导：ψψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='0-00-1-0000x x n e x xx A e x x x n Ax x nx x n // （3）ψψψψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=''20020212)1(1x x x n xn n x x n x n （4） 从式（2）和（4）中消去)(x ψ，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=-2002212)1(2)(x x x n x n n m x V E （5） 当0)(,→∞→x V x ，所以222mx E -= （6） 代回式（5），解得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x x n x n n m x V 0222)1(2)( 3．一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向0=x 处的势阶运动。
当0≤x 时，该势为0；当0>x 时，该势为 E 43。
问在0=x 处粒子被反射的的几率多大？（15分）0 X 解：S.eg 为⎪⎩⎪⎨⎧>='+''≤=+''0,00,022x k x k ψψψψ其中 ,222 mE k = ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-='E V k V E m k 434)(202202方程的解为：⎪⎩⎪⎨⎧0≥0≤+=-x tex re e x k i x k i x k i ,,ψ0=x 处，ψψ'及分别连续，给出⎪⎩⎪⎨⎧=-=+t k r k t r 2)1(1 解得 31=r ， 反射系数 91==2r R 。
4.设粒子处于()ϕθ,lm Y 状态下，1)证明在的本征态下，0==y x L L 。
（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L 求平均。
）证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z=[]x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，()()()0111=ψψ-ψψ=ψψ-ψψ=ψψ-ψψ=∴y y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L同理:利用[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L . 有：0=y L 。
2)求()2x L ∆和()2yL ∆解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L z =，将上式在lm 态下求平均，因z L 作用于lm 或lm 后均变成本征值 m ，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 22yxL L =又()[]222221 m l l L L L zy x -+=-=+()[]2222121m l l L L yx-+==∴ 上题已证0==y x L L 。
()()()[]2222222121m l l L L L L L L x x x xx x -+==-=-=∆∴同理 ()()[]222121m l l L y-+=∆。
5. 设),(p x F 是p x ,的整函数，证明[][]F , F,,pi F x x i F p ∂∂=∂∂-=整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞==0,),(n m n m mnp x Cp x F 。
证： （1）先证[][]11, ,,--=-=n n m mp ni p x xmi xp 。
[][][][][][][][]()()[]()111111331332312221111,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m mx mi x i x i m x x p x i m xxp xi x x p x x p x x i x x p x x p x x i xx p x p x x p同理，[][][][][][]1221222111,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n np ni p p x p i p p x p p x p p i pp x p x p p x现在，[][]()∑∑∑∞=-∞=∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0,10,0,,,,n m nm mn n m n m mn n m n m mn p x mi C p x p C p x C p F p而 ()∑∞=--=∂∂-0,1n m n m mn p x mi C x Fi。