导数及其应用
1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为
A ．10x y --π-=
B ．2210x y --π-=
C ．2210x y +-π+=
D ．10x y +-π+= 【答案】C
【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'
则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ．
2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-，
B ．a=e ，b =1
C ．1e 1a b -==，
D ．1e a -=，1b =-
【答案】D
【解析】∵e ln 1,x y a x '=++
∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，
将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.
故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03
2x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则
A ．a <–1，b <0
B ．a <–1，b >0
C ．a >–1，b <0
D ．a >–1，b >0
【答案】C
【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b 1−a ，
则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；
当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，
2(1)y x a x =+-'，
当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，
则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；
当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，
令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：
∴b 1−a ＜0且{−b ＞0
13(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0
，
解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，
则a >–1，b <0.
故选C ．
4．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．
【答案】30x y -=
【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++
所以切线的斜率0|3x k y ='==，
则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．
5．【2019年高考天津文数】曲线cos 2x
y x =-在点(0,1)处的切线方程为__________.。