2012湖北高考理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．方程2+6+13=0x x 的一个根是 （ ） A ．3+2i - B ．3+2i C ．22i -+ D ．2+2i 【测量目标】复数的一元二次方程求根.【考查方式】给出一元二次方程，由求根公式求出它的根. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】根据复数求根公式：26613432i 2x -±-⨯==-±，所以方程的一个根为32i -+，答案为A.2．命题“300x x ∃∈∈RQ Q ，”的否定是 （ ）A ．300x x ∃∉∈RQ Q ，B ．300x x ∃∈∉RQ Q ，C ．300x x ∀∉∈RQ Q ，D ．300x x ∀∈∉RQ Q ，【测量目标】常用逻辑用语，含有一个量词的命题的否定.【考查方式】给出了存在性命题，根据逻辑用语写出命题的否定. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定因此选D.3．已知二次函数=()y f x 的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 （ ）第4题图A ．2π5B.43 C ．32D ．π2【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】给出了二次函数的图象，求出函数解析式，由定积分的几何意义可求得面积. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】根据图像可得：2()+1y f x x ==-，再由定积分的几何意义，可求得面积为1221114=(+1)()133S x dx x x --=-+=-⎰.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π第4题图 【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出了几何体的的三视图，确定其为圆柱，根据体积公式求出体积. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B. 5．设a ∈Z ，且013a <，若201251a +能被13整除，则a = （ ）A ．0B ．1C ．11D ．12 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，根据其展开式的系数求解. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由于51=52-1，2012020121201120111201220122012(521)C 52C 52C 521-=-+-+…又由于13|52,所以只需13|1+a ，0a ＜13,所以a =12选D.6．设,,,,,a b c x y z 是正数，且222++=10a b c ，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z ++=++ （ ）A ．14B ．13C ．12D ．34【测量目标】不等式的基本性质.【考查方式】给出含未知量的3个方程，根据柯西不等式的使用及其去等条件可得出答案.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】由于2222222()()()a b c x y z ax by cz ++++++等号成立当且仅当a b ct x y z===，则a tx b ty c tz ===，，， 2222()10t x y z ++=（步骤1）所以由题知12t =,又a b c a b c x y z x y z ++===++（步骤2）, 所以12a b c t x y z ++==++，答案选C.（步骤3） 7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}()n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2xf x =； ③()f x =； ④()ln f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④【测量目标】等比数列性质及函数计算.【考查方式】给出了保等比数列的定义，判断所给4个函数是否为保等比数列. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】等比数列性质，221n n n a a a ++=， ①222222211()()()()n n n n n n f a f a a a a f a ++++=== （步骤1）2212221()()2222()n n n n n a a a a a n n n f a f a f a ++++++==≠=②（步骤2）2221()()()n n n f a f a f a ++===③（步骤3）2221()()=ln ln ()n n n n n f a f a a a f a +++≠④选C.（步骤4）8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A ．21π-B ．112π- C ．2π D ．1π第8题【测量目标】几何概型及平面图形面积公式. 【考查方式】给出扇形根据面积公式求出扇形面积以及阴影部分的面积，算出他们的比值即为概率. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】令1OA =，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S ，围成OC 为2S ，作对称轴OD ，则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积， （步骤1）221111π2π122228S -⎛⎫=-⨯⨯=⎪⎝⎭.在扇形OAD 中12S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ，21211π2π(1)284216S S -=--=，12π24S S -+=，扇形OAB 面积1π4S =， 选A.（步骤2）第8题图9．函数2()cos f x x x =在区间[]0,4上的零点个数为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】三角函数的周期性以及函数零点的判断.【考查方式】给出复合函数，根据函数周期性确定其在区间类的零点个数. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】()0f x =，则0x =或2cos 0x =，2ππ+,2x k k =∈Z 又[]0,4x ∈， 0,1,2,3,4k =所以共有6个解.选C.10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π=3.14159...判断，下列近似公式中最精确的一个是 （ ） A ．3169d V ≈B ．32d V ≈C ．3300157d V ≈D ．32111d V ≈【测量目标】球的体积公式以及估算.【考查方式】根据球的体积估算圆周率. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由34π32d V ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得36πV d =，设选项中常数为a b ，则6π=b a （步骤1）；A中代人得69π 3.37516⨯==，B 中代入得6π32==，C 中代入得π61573.14300⨯==，D 中代人得611π= 3.142857,21⨯=由于D 中值最接近π的真实值，故选D.（步骤2）二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若()()a b c a b c ab +-++=，则角C = ．【测量目标】余弦定理，解三角形.【考查方式】给出三角形的各边关系，利用余弦定理求出角C . 【难易程度】容易 【参考答案】120【试题解析】由()(+)a b c a b c ab +--=，得222a b c ab +-=-根据余弦定理2221cos ,222a b c ab C ab ab +-==-=-故120C ∠=.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s = .第12题图 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图，通过输入、赋值、输出语句，得出满足条件的s . 【难易程度】容易 【参考答案】9【试题解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示： 第一圈循环：当n =1时，得s =1，a =3.（步骤1） 第二圈循环: 当n =2时，得s =4，a =5 （步骤2）第三圈循环：当n =3时，得s =9，a =7 （步骤3） 此时n =3，不再循环，所以解s =9 . （步骤4）13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（Ⅰ）4位回文数有个；（Ⅱ）21()n n ++∈N 位回文数有 个． 【测量目标】排列、组合及其应用.【考查方式】根据回文数的定义求出4位回文数以及21()n n ++∈N 回文数的个数. 【难易程度】较难【参考答案】（I ）90；（II ）910n⨯【试题解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有91090⨯=种，答案：90. （Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n +1位回文数和2n +2位回文数的个数相同，所以可以算出2n +2位回文数的个数.2n +2位回文数只用看前n +1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n 项每项有10种情况，所以个数为910n⨯.法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个,按此规律推导22102n n s s =-,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因21210n n s s +=,则答案为910n ⨯.14．如图，双曲线22221(,0)x y a b a b-=＞的两顶点为12A A ，虚轴两端点为12B B ，两焦点为12F F ，. 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D . 则第14题图（Ⅰ）双曲线的离心率e = ；（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S = . 【测量目标】双曲线的标准方程、定义、离心率，以及一般平面几何图形的面积计算. 【考查方式】给出了双曲线和平面几何图形的位置关系求出离心率，根据面积公式求出面积比.【难易程度】较难 【参考答案】（I ）512e +=，（II ）1225S S += 【试题解析】（Ⅰ）由于以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，因此点O 到直线22F B 的距离为a ，又由于虚轴两端点为12B B ，，因此2OB 的长为b ，那么在22F OB △中，由三角形的面积公式知，2222111222bc a B F a b c ==+（步骤1），又由双曲线中存在关系222c a b =+联立可得出222(1)e e -=，根据(1,)e ∈+∞解出51e +=.（步骤2） （II ）菱形1122F B F B 的面积12S bc =，设矩形ABCD ，2BC m =，2BA n = ∴m c n b =（步骤3），∵222m n a +=，∴2222,m n b c b c==++(步骤4) ∴面积222244a bc S mn b c ==+，∴221222S b c S a+=（步骤5） ∵222b c a =-∴12252S S +=（步骤6）. （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D 在O 的弦AB 上移动，4AB =，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交O 于点C ，则CD 的最大值为 .第15题图 【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线与圆的位置关系，判断点D 的位置从而求出线段最大值. 【难易程度】容易 【参考答案】2【试题解析】（由于OD CD ⊥,因此CD 线段OC 长为定值，即需求解线段OD 长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此时D 为AB 的中点，点C 与点B 重合，因此122CD AB == 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数） 相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .【测量目标】平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.【考查方式】给出了两曲线的极坐标方程，将它们化为一般方程并求出交点. 【难易程度】中等 【参考答案】55(,)22【试题解析】π4θ=在直角坐标系下的一般方程为()y x x =∈R ，将参数方程21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为222(1)(11)(2)y t x x =-=--=-表示一条抛物线（步 骤1），联立上面两个方程消去y 有2540x x -+=，设A B ，两点及其中点P 的横坐标分别为0A B x x x 、、（步骤2），则有韦达定理0522A B x x x +==,又由于点P 点在直线y x =上，因此AB 的中点P 55(,)22.（步骤3）三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量(cos sin sin )x x x ωωω=-，a ，(cos sin ,)x x x ωωω=--b ，设函数()()f x x λ=+∈R a b 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π,04⎛⎫⎪⎝⎭，求函数()f x 在区间3π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 【测量目标】平面向量的数量积运算，三角函数的变换及化简.【考查方式】求出函数解析式，根据三角变换求得最小正周期和在特定区间类函数的取值范围.【难易程度】容易 【试题解析】（I ）因为22()sin cos cos f x x x x ωωωλ=-+cos 22.x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+（步骤1）.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ+()62k k ω-=∈Z ，即1().23k k ω=+∈Z 又1(,1)2k ω∈∈Z ，，所以k =1，故56ω=，所以()f x 的最小正周期为6π5.（步骤2）（II ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，（步骤3）即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=即λ=故5π()2sin()36f x x =-（步骤4）由3π0,5x 有π5π5π,6366x --所以15πsin()1236x --，得5π12sin()222,36x ----故函数()f x在3π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为1⎡-⎣.（步骤5） 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}n a 的前n 项和. 【测量目标】等差数列的通项，前n 项和.【考查方式】由等差数列的前三项和以及积的大小求出通项，由前三项成等比关系求出新数列的前n 和. 【难易程度】容易【试题解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+. 有题意得1111333()2a d a a d a d +=-⎧⎨++⎩（）=8解得123a d =⎧⎨=-⎩或143a d =-⎧⎨=⎩（步骤1）所以由等差数列通项公式可得23(1)35,n a n n =--=-+或43(1)37.n a n n =-+-=- 故35,n a n =-+或37.n a n =-（步骤2）（II ）当35n a n =-+时，231,,a a a 分别为1,4,2--,不成等比数列. 当37n a n =-时，231,,a a a 分别为1,2,4,--成等比数列，满足条件. 故37,1,237.37,3n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-⎩（步骤3）记数列{}n a 的前n 项和为n S .当n =1时，114;S a ==当n =2时，2125;S a a=+= 当n3，234...5(337)(347)...(37)n n S S a a a n =++++=+⨯-+⨯-++- =[]2(2)2(37)311510.222n n n n -+-+=-+当2n =时，223112210522S =⨯-⨯+=综上，24131110,122n n S n n n =⎧⎪⎨-+⎪⎩，＞.（步骤4）19．（本小题满分12分）如图1，45ACB ∠=，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠=（如图2所示）． （Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．图1 图2第19题图【测量目标】三棱锥的体积公式，均值不等式求最值，利用导数求函数的最值，空间直角坐标系的建立，平行与垂直关系的综合应用.【考查方式】给出了空间几何体的边、角等，通过均值不等式或者导数求出体积的最大值，利用空间向量或者垂直与平行关系求得线面角的大小. 【难易程度】中等【试题解析】（I ）解法1：在如图1所示的△ABC 中，设BD =x (03)x ＜＜，则3CD x =-. 由,45AD BC ACB ⊥∠=知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD =CD =3x -.（步骤1）由折起前AD ⊥平面BCD .又90BDC ∠=,所以11(3).22BCD S BD CD x x ==-△于是1111(3)(3)2(3)333212A BCD BCD V AD S x x x x x x -==--=-△（-）312(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 当且仅当23,x x =-即当x =1时，等号成立，故当x =1，即BD =1时，三棱锥A BCD -的体积最大.（步骤2） 解法2：同解法1，得321111=(3)(3)(69).3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -=--=-+△（步骤1）令321()(69),6f x x x x =-+由1()(1)(3)02f x x x '=--=，03,x ＜＜解得x =1. 当(0,1)x ∈时，()0;f x '＞当(1,3)x ∈时，()0f x '＜. 所以当x =1，()f x 取1得最大值.故当BD =1时，三棱锥A BCD -的体积最大.（步骤2）(II)解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -. 由（I ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1,2BD AD CD ===. 于是可得1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(,1,0)2D B C A ME 且(1,1,1).BM =-（步骤3）设1(0,,0),=2N EN λλ则（-,-1,0）.因为EN BM ⊥等价于0EN BM =,即111022λλ+-=（-,-1,0）(-1,1,1)=，故11,(0,,0)22N λ=（步骤4）所以当DN =12（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥. 设平面BMN 的一个法向量为n (,,),x y z =由BNBM⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ，及1(1,,0),2BN =-得2y x z x=⎧⎨=-⎩可取(1,2,1)=-n .（步骤5）3cos 2EN <>=，n即EN 与平面BMN 所成角的大小60.（步骤6）第19题图a解法2：由（I ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1, 2.BD AD CD ===（步骤3）如图b ,取CD 的中点F ，连接,MF BF ,EF ,则MFAD .由（I ）知AD ⊥平面BCD ，所以MF ⊥平面BCD .（步骤4）如图c ，延长FE 至P 点使得FP =DB ，连接BP ,DP ，则四边形DBPF 为正方形， 所以.DP BF ⊥取DF 得中点N ，连接EN ，又E 为FP 的中点，则ENDP ，所以.EN BF ⊥因为MF ⊥平面BCD ，又EN ⊂面BCD ，所以MF EN ⊥. 又=MFBF F ，因为MF ∈面BMF ，所以EN ⊥BM.. 因为EN BM ⊥当且仅当,EN BF ⊥而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的. 即当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)，EN BM ⊥. 连接MN ，ME ，由计算得NB =NM =EB =EM =52， 所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形，（步骤5） 如图d .BM EGN ⊥平面在平面EGN 中，过点E 作EH GN ⊥于H , 则EH ⊥平面BMN .故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角. 在△EGN 中，易得EG =GN =NE =2，所以△EGN 是正三角形， 故=60EGN ∠，即EN 与平面BMN 所成角的大小为60.（步骤6）图b图c 图d 第19题图 20．（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表： 降水量X 300X ＜300700X ＜＜700900X ＜＜ 900X工期延误天数Y2610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（Ⅰ）工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率. 【测量目标】概率的加法公式与方差，条件概率.【考查方式】给出了降水量与工期延误的关系，根据概率的加法公式以及方差公式求出延误天数的均值与方差、条件概率. 【难易程度】中等【试题解析】（I ）由已知条件和概率的加法公式有:(300)0.3,(300700)(700)(300)=0.70.30.4P X P X P X P X ==--=＜＜＜＜＜ (700900)=(900)700=0.90.70.2P X P X P X --=＜＜（＜） (900)1(900)=10.90.1.P XP X =--=＜（步骤1）所以Y 的分布列为：2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8.D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=故工期延误天数Y 的均值为3，方差9.8.（步骤2） （II ）由概率的加法公式，(300)1(300)0.7P X P X =-=＜，又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X =-=-=＜＜＜.由条件概率，得(300900)0.66(6300)(900300)(300)0.77P X P Y X P X X P X ====＜＜.故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.（步骤3） 21．（本小题满分13分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足(01),DM m DA m m =≠＞，且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.【测量目标】双曲线的标准方程，直线的方程，直线与双曲线的位置关系，双曲线中的定点问题.【考查方式】给出了圆的方程以及直线与圆的位置关系，从而判断轨迹为何种曲线，根据直线与方程的联立求出满足条件的点. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）如图1，设00(,),(,),M x y A x y 则由(01),DM m DA m m =≠＞，且 可得00,,x x y m y ==所以001,.x x y y m==① 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y += ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2221(0)y x m m m+=≠＞，且1，（步骤1）因为(0,1)(1,),m ∈+∞所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(；（步骤2） 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,.（步骤3）（II ）解法1：如图2、30k ∀＞，设1122(,),(,),P x kx H x y 则111(,),(0,),Q x kx N kx -- 直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得222222211(4)40.m k x k x x k x m +++-=依题意可知此方程的两根为12,,x x -于是由韦达定理可得21122244k x x x m k -+=-+，即21222.4m x x m k =+（步骤4） 因为点H 在直线QN 上，所以212122222.4km x y kx kx m k-==+ 于是112121(2,2),(,)PQ x kx PH x x y kx =--=--=2211222242(,)44k x km x m k m k -++. 而PQ PH ⊥等价于PQ PH =2221224(2)0,4m k x m k-=+即220m -=，又m ＞0，得m =，故存在m =，使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的0k ＞，都有PQ PH ⊥.（步骤5）第21题图1解法2：如图2、3，1(0,1)x ∀∈，设1122(,),(,),P x y H x y 则111(,),(0,)Q x y N y --因为P ,H 两点在椭圆C 上，所以222211222222m x y m m x y m ⎧+=⎨+=⎩，两式相减可得 222221212()()0.m x x y y -+-=（步骤3）依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ,H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠，于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+.（步骤4）又Q ,N ,H 三点共线，所以QN QH K K =，即1121122.y y y x x x +=+ 于是由④式可得211212121121212()()1.2()()2PQ PHy y y y y y y m K K x x x x x x x --+===---+（步骤5） 而PQ PH ⊥等价于PQPH K K =1-,即22m -=1-，又m ＞0，得m =2.故存在m =2，使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的k ＞0，都有PQ PH ⊥. （步骤6）图2 图3 （0＜m ＜1） （m ＞1） 第21题图22．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()(1)(0)rf x rx x r x =-+-＞，其中r 为有理数，且01r ＜＜. 求()f x 的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设12120,0,,a a b b ，为正有理数. 若121b b +=，则12121122;b b a a a b a b +（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注：当α为正有理数时，有求导公式1()x xααα-'=.【测量目标】利用导数求函数的单调区间及最值、解不等式问题，数学归纳法.【考查方式】给出函数解析式，求其导数从而求出函数的最值.给出了参数的范围，利用问题（I ）的结论以及导数解决不等式的证明.在利用（II ）的命题根据数学归纳法得到命题的一般形式进行推广. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）11()(1),r r f x r rx r x --'=-=-令()0f x '=，解得x =1.当0＜x ＜1时，()0f x '＜，所以f (x )在（0，1）内是减函数； 当x ＞1时，()f x '＞0，所以f (x )在（0，1）内是增函数. 故函数()f x 在x =1处取得最小值(1)0.f =（步骤1） （II ）由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f =，即(1)rx rx r +-若12,a a 中有一个不为0，则12121122bb a a a b a b ++成立（步骤2）；若12,a a 均不为0，又121b b +=，可得211b b =-，于是在①中令112,,ax r b a ==可得1111122(1),b a a b b a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭即12121121(1)bb a a a b a b +-，亦即12121122b b a a a b a b +.（步骤3）综上，对12120,0,,a a b b 为正有理数且121b b +=，总有12121122b b a a a b a b +.②（步骤3）(III) （II ）中命题的推广形式为：设12,,,n a a a …为非负实数，12,,,n b b b …为正有理数. 若121,k b b b +++=…则12121122+kb bbk k k a a a a b a b a b ++…….（步骤4）③用数学归纳法证明如下: （1）当1n =时，11,b =有11,a a ③成立.（步骤5）（2）假设当n k =时③成立，即若12,,,k a a a …，非负实数，12,,,k b b b …，为正有理数.且121,k b b b +++= (12121122)b b b k k k a a a a b a b a b ++…….当1n k =+时，已知12,,,k a a a …，1k a +非负实数，12,,,k b b b …，1k b +为正有理数 且1211,k k b b b b +++++=…此时101k b +＜＜，即110k b +-＞，（步骤6）于是111212121121(...)kk kk b b b b b b b b k k k k a a a aa a a a++++= (1211)1+1+11111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aa a a +++----+=…12111...1111k k k k b b b b b b ++++++=---，由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaa a +++--- (112212)1211111111k k k k k k k k b a b a b a b b b a a a b b b b +++++++++=----……从而112121k k bbbb k k a a a a ++ (1)111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫++ ⎪-⎝⎭…（步骤7）又因1+1(1)=1k k b b +-+，由②得11111221122111111k k b b k k k kk k k k a b a b a b a b a b a b a b b b ++-++++⎛⎫++++ ⎪--⎝⎭……+（1-）1+1k k a b ++ =1122k k a b a b a b ++…++11k k a b ++，从而112121k k bbbbk k a a a a ++…112211k k k k a b a b a b a b +++++…+.（步骤7）故当1n k =+时，③成立. 由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立. 说明：（III ）中如果推广形式中指出③式对2n 成立，则后续证明不需要讨论1n =的情况（步骤8）。