平行四边形中的动点问题
1.四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件：
①AD ∥BC ；②AD=BC ；③OA=OC ；④OB=OD 从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（ ）
A ． 3种
B ． 4种
C ． 5种
D ． 6种 2.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，
点E ，F 分别是边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于点H ，则的值为（ ）
平行四边形的判定：
定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1．如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．
动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．
（1）当t 为何值时，四边形PQCD 的面积是梯形ABCD 的面积的一半；
（2）四边形PQCD 能为平行四边形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由．
（3）四边形PQCD 能为等腰梯形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由．
解答：解：（1）由已知得：AQ=t ，QD=16﹣t ，BP=2t ，PC=21﹣2t ，
依题意，得 12)22116(2112)2(2
1⨯-+-=⨯+t t t t 解得；
（2）能；当四边形PQDC 为平行四边形时，
DQ=PC ，即16﹣t=21﹣2t 解得t=5； 解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边
形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形； ①③可证明△ADO ≌△CBO ，进而得到AD=CB ，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；
①④可证明△ADO ≌△CBO ，进而得到AD=CB ，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；
故选：B ．
（3）不能
作QE⊥BC，DF⊥BC，垂足为E、F，
当四边形PQCD为等腰梯形时，PE=CF，
即t﹣2t=21﹣16
解得t=﹣5，不合实际．
变式练习：如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）分别求出当t为何值时，①PD=PQ，②DQ=PQ．
☆专题2：平行四边形的证明
【例2】如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若动点P 从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动．当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动．设点P、Q同时出发，并运动了t秒，（1）直角梯形ABCD的面积为_____cm2；
（2）当t=_____秒时，四边形PQCD成为平行四边形？
（3）当t=_____秒时，AQ=DC；
（4）是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．考点：直角梯形；平行四边形的判定
变式练习
如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B 点运动．当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动．设点P、Q同时出发，并运动了t秒，
（1）这个直角梯形ABCD的面积是多少？
（2）当t为何值时，四边形PQCD成为平行四边形？
（3）是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值，若不存在，说明理由．分析：（1）作DM⊥BC于点M，在直角△CDM中，根据勾股定理即可求得CM，得到下底边的长，根据梯形面积公式即可求解．
（2）当PD=CQ时，四边形PQCD成为平行四边形．
（3）连接QD，根据S△DQC=S△DQC，即可求解．
难度提升：
1.直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
分析：
（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；
（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，
当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；
（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．
解答：
例3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P 从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？
分析：
（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．
（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．
（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．。