后积分得到
x x(t ) ，即得到一个参数解.
2 泛函的核
泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线
落径问题的表达式．更为一般而又典型的泛函定义为
其中
F ( x, y( x), y( x))
称为泛函的核
3 求泛函极值方法――变分法
对于不同的自变量函数
，与此相应的泛函 ，使泛函
也有不同的数值．找出一个确定的自变量函数
伯努利家族
尼古拉•伯努利 雅格布Ⅰ 尼古拉Ⅰ 尼古拉Ⅱ 尼古拉Ⅲ 约翰Ⅰ 丹尼尔 约翰Ⅱ 约翰Ⅲ
丹尼尔Ⅱ
雅格布Ⅱ
2017/5/17
宁德师范高等专科学校
11
贝努利（Jacob Bernoulli 1654-1705），著名数学家。
他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，并从1687年开始 到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了 无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在 tan(x)函数的幂级数展开式中伯努利数。 雅可布在《学艺》上发表了一系列重要的论文，微分方程中的 “伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先给出直角坐标和极 坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提 出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问 题，1694年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线”由此得名。 雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结 果还是对数螺线。
对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量 函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：
2. 泛函表示为多个函数的积分形式
则与此泛函极值问题相应的E-L方程为
（3.1.19）
3. 泛函的积分形式中含有高阶导数
与此泛函极值问题相应的E-L方程为
（3.1.20）
4.泛函的积分形式中含有多元函数
约翰.伯努利（Johann Bernoulli 1667-1748）， 雅可布的弟弟，原来也错选了职业，他起先学医，并在 1694年获得巴塞尔大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问
题的。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、
微分方程和力学上的许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物 理教授，而在他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约翰
泛函的极值的必要条件――欧拉－拉格朗日方程
设 的极值问题有解 （3.1.9）
现在推导这个解所满足的常微分方程，这是用间接法
研究泛函极值问题的重要一环．设想这个解有变分 则 可视为参数 而当 的函数
时，
对应于式(17.2.1),即为 取极值．于是原来的泛函极值 的极值问题．由函数
问题，就化为一个求普通函数 取极值的必要条件，有
研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫直接法， 即直接分析所提出的问题；另一类叫间接法，即把问题
转化为求解微分方程．为讨论间接方法，先介绍变分和泛
函的变分．
变分
定义4： 变分
如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为 并定义与函数曲线 曲线）作为比较曲线，记为 邻近的曲线（或略为变形的
其中
由弧微分 ds 1 ( y ' ) 2 dx 可得
ds dt v ds 2 gy 1 ( y ' ) 2 dx 2 gy
从而整个下降时间t就是 dt ds 的积分，即确定函数y(x) v 使
t t[ y ( x)]

x1
1 ( y' )2 2 gy
0
dx
(3-1-1)
泛函与变分
• 函数是变量与变量之间的关系，泛函是变量 与函数之间的关系，因此，泛函可以理解为 “函数的函数”。 • 自变量x(t)在定义区间连续可微，或者是连 续分段可微函数。 容许函数类。 • 在经典控制中往往要求自变量是连续可微的。
dt J[x(t)] F[t, x(t), x(t)]
E-L方程除了上面给出的形式(3.1.14)之外， 另外还有四种特殊情况：
(1) 因为
不显含
且
若
E-L方程等价于
（3.1.15）
(2)
不依赖于
且
则E-L方程化为
（3.1.16）
(3)
不依赖于
且
则E-L方程化为
（3.1.17）
由此可见 (4)
仅为
的函数．
关于
是线性的：
则E-L方程化为
（3.1.18）
，又有
，对第二项
(3.1.12)
根据（3.1.10）,所以 （3.1.12）故有
,再根据
（3.1.13）
因为
并且
是任意的，所以
(3.1.14) 上式(3.1.14)称为欧拉（Euler）－拉格朗日（Lagrange）
方程，简称为E-L方程．
此即泛函取极值的必要条件．即泛函 必须是满足泛函的变分 的函数类 的极值函数 ．因此，
运筹与优化模型
第三章 泛函分析优化模型
2013年4月
第三章 泛函分析优化模型
• • • • 第1节 第2节 第3节 第4节 泛函的极值问题（变分法） 最优价格模型 生产计划模型 设备检查模型
第1节：泛函的极值问题（变分法）
1、泛函的基本概念 2、变分的基本概念 3、欧拉方程
泛函的极值问题（变分法）
2
(3-1-2) ．
显然(3-1-2)式还要满足初始条件 y(0) 0
只要解出(3-1-2)式，并代入初始条件就知道了最 速降线究竟是什么样的曲线.
无法直接用DSolve解出 y[1
y' 2 ] c ，用换元法令
1 c 2 ，再由 可解出 y c (1 cos 2t ) yx ' 1 y[1 y' ] c y 2 dx dx dy dy (另一个解舍去，为什么？)， 所以 / y x ' ，然 dt dy dt dt
向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有
任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不 计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”
这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极
小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、
返回
最速降线问题
• 据能量守恒原理，一质点在一高度处的速 度(初始速度为零)，完全由其到达该高度 处所损失的势能确定，而与所经过的路线 无关．设质点质量为m，重力加速度为g， 质点从下滑到点时的速度为v，则
1 2 mv mgy 2
即
v 2gy
ds v dt
以s表示曲线从点A算起到p(x,y)的弧长，有
4 泛函的条件极值问题
在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件
的限制，其中最常见和重要的一种是以积分形式表示的限制
条件
（3.1.22）
即所谓的等周问题：
(3.1.23)
（注：这种问题之所以称为等周问题，是因为在历史上起源 于求一条通过两点，长度固定为l的曲线 取极大值） 使面积
(3.1.3)
因此可得
(3.1.4)
这里
代表对
求一阶导数．
所以
(3.1.5)
即变分和微分可以交换次序．
泛函的变分
定义 4 泛函的变分 泛函的增量 变分问题
泛函的变分定义为
(3.1.6)
在极值曲线
附近，泛函
的增量，定义为
(3.1.7)
依照上述约定，当
时，泛函增量
的线性
主要部分定义为泛函的变分，记为
设 为 的二元函数，则
与此泛函极值问题相应的E-L方程为
（3.1.21）
例17.2.1 试求解最速降线落径问题，即变分问题
【解】目前，我们只能用间接方法来求解，由于
不显含
，故其E-L方程为（3.1.15）
令
，故有
令
，分离变量得到
再令
，代入上式得到
即得到
此即为摆线的参数方程，积分常数可由初始位置 （图17.1的A,B两点）决定．
t0
tf
例1
最速降线问题
如图， 一初始速度为
零的质点，仅受到重力
的作用，沿光滑固定的 曲线由定点A滑行到定 点B(B低于A，但不在同 一铅直线上)．为使滑
行的时间最短，问该曲
线应为什么形状？
通常人们会认为最速降线应该是连接A和B的直线段． 牛顿曾经作过这个实验：在铅直平面内，取同样的两球， 其中一个沿着圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B，结果 发现沿圆弧的球先到达B点．
（2）、若
x(t) et ，则
2 e J (e 2t e t ) dt 1 0 2 1
（3）、若 x(t) t ，则
2
13 J (t 2t ) dt 0 15
1 4 2
泛函与变分
• 很显然，J的取值依赖于所指定的函数。与 函数不同的是，自变量不再是一个数，而 是一个函数。因而，这样的函数关系称为 泛函。 • 定义：如果对于某一类函数集合{x(t)}中的 每一个函数x(t)，均有一个确定的数J与之对 应，则称J为依赖于函数x(t)的的泛函，记作 J=J[x(t)]
取极小值．这是泛函中的极值问题．令
F ( y, y ' ) 1 ( y' ) 2 2 gy
由变分法理论知(3-1-1)式满足下面的方程：
F y ' F c1 y &# 1 ( y' )
y '
1 ( y' ) 2 2 gy
c1
将上式化简得
y[1 y' ] c