一．填空题（每小题
1． 的幅角是（ ）；2. 的主值是（ ）；3. ， （ ）；
4． 是 的（ ）极点；5． ， （ ）；
二．选择题（每小题
1．解析函数 的导函数为（ ）；
（A） ； （B） ；
（C） ； （D） .
2．C是正向圆周 ，如果函数 （ ），则 ．
（A） ； （B） ； （C） ； （D） .
解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程
因为函数 在复平面内只有两个奇点 ，分别以 为圆心画互不相交互不包含的小圆 且位于c内
（3）．计算 ，其中C是正向圆周 ；
解：设 在有限复平面内所有奇点均在： 内，由留数定理
-----（5分）
（4）函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.
-----（5分）
----（8分）
--------（10分）
（4）函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.
解 ： （1）
（2）
（3）
（4）
（5）
备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。
四、（本题14分）将函数 在以下区域内展开成罗朗级数；
（1） ，（2） ，（3）
解：（1）当
四、（本题12分）将函数 在以下区域内展开成罗朗级数；
（1） ，（2） ，（3）
六、（本题8分）求 的傅立叶变换，并由此证明：
1
二．选择题（每小题
1-------5 A A C C C
（1）求 使 是解析函数，
解：因为 解析，由C-R条件
，
给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
（2）． ．其中C是正向圆周 ；
而
-------6分
（2）当
=
-------10分
（3）当
------14分
每步可以酌情给分。
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题：
解：对 的Laplace变换记做 ，依据Laplace变换性质有
…（5分）
整理得
…（7分）
…（10分）
六、（6分）求 的傅立叶变换，并由此证明：
给出全部奇点给5分。其他酌情给分。
四、（本题14分）将函数 在以下区域内展开成罗朗级数；
（1） ，（2） ，（3）
（1） ，（2） ，（3）
解：（1）当
而
--------6分
（2）当
=
-----10分
（3）当
--------14分
解：对 的Laplace变换记做 ，依据Laplace变换性质有
…（5分）
（2）．计算 其中C是正向圆周：
解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程
因为函数 在复平面内只有两个奇点 ，分别以 为圆心画互不相交互不包含的小圆 且位于c内
无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
（3）．
解：设 在有限复平面内所有奇点均在： 内，由留数定理
3．如果级数 在 点收敛，则级数在
（A） 点条件收敛 ； （B） 点绝对收敛；
（C） 点绝对收敛； （D） 点一定发散．
４．下列结论正确的是( )
（A）如果函数 Βιβλιοθήκη 点可导，则 在 点一定解析；(B)如果 在C所围成的区域内解析，则
（C）如果 ，则函数 在C所围成的区域内一定解析；
（D）函数 在区域内解析的充分必要条件是 、 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ ）．
(A) (B)
(C) (D)
（1）设 是解析函数，求
（2）．计算 其中C是正向圆周： ；
（3）计算
（4）函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.
四、（本题14分）将函数 在以下区域内展开成罗朗级数；
（1） ，（2） ，（3）
六、（本题6分）求 的傅立叶变换，并由此证明：
5．下列结论不正确的是（ ）．
（A）、 是复平面上的多值函数； 是无界函数；
是复平面上的有界函数；（D）、 是周期函数．
（1）设 是解析函数，且 ，求 ．
（2）．计算 ．其中C是正向圆周 ；
（3）．计算 ，其中C是正向圆周 ；
（4）．利用留数计算 ．其中C是正向圆周 ；
（5）函数 在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.
整理得
…（7分）
…（10分）
六、（本题6分）求 的傅立叶变换，并由此证明：
解：
-------2分
----- 4分
----------- 5分
= --------------6分
解： --------3分
------4分
- -------5分
， -------6分
«
一．
二．
1．解析函数 的导函数为（ ）；
（A） ； （B） ；
（C） ； （D） .
2．C是正向圆周 ，如果函数 （ ），则 ．
（A） ； （B） ； （C） ； （D） .
3．如果级数 在 点收敛，则级数在
（A） 点条件收敛 ； （B） 点绝对收敛；
«
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1． 的幅角是（ ）；2. 的主值是（ ）；3. ， （ 0 ），4． 是 的（一级）极点；5． ， （-1 ）；
二．选择题（每题
1----5 B D C B D
三．按要求完成下列各题（每小题
（1）．设 是解析函数，求
解：因为 解析，由C-R条件
，
给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
（C） 点绝对收敛； （D） 点一定发散．
４．下列结论正确的是( )
（A）如果函数 在 点可导，则 在 点一定解析；
(B)如果 ,其中C复平面内正向封闭曲线,则 在C所围成的区域内一定解析；
（C）函数 在 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为 的幂级数，而且展开式是唯一的；
（D）函数 在区域内解析的充分必要条件是 、 在该区域内均为调和函数．