教学内容—二次函数综合复习
知识精要
二次函数的概念：形如
2
(0)y ax bx c a =++≠的函数。

定义域是一切实数。

二次函数的图像
函数 对称轴
顶点 开口方向
最值 ()
20y ax a =≠ y 轴 （0，0）
a>0,图像开口向上,顶
点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点.
()
2
0y ax c a =+≠ y 轴
)
,0(c
c
()()
2
0y a x m a =+≠
m x -= ()0,m -
)0()(2≠++=a k m x a y m x -=
),(k m -
k
()02
≠++=a c bx ax y
a
b
x 2-
=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 a
b a
c 442
-
)0)()((1≠--=a x x x x a y x
22
1x x x +=
一、选择题典型例题
1）有关二次函数图像与系数关系
1．如果0k <（k 为常数），那么二次函数22y kx x k =-+的图像大致为 （ ）．
2. 已知二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 以下关于实数c b a ,,的符号判断中，正确的是（ ） A.0,0,0>>>c b a B.0,0,0><>c b a C.0,0,0<>>c b a D.0,0,0<<>c b a
第6题
A
B
C
D
y O x y O
x y
O
x
y
O
x
2）二次函数性质的判断：对称轴，开口方向，顶点，增减性
1． 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2
1y x =-上，下列说法中正确的是 （ ） A. 若12y y =，则12x x = B. 若12x x =-，则12y y =- C. 若120x x <<，则12y y > D. 若120x x <<，则12y y > 2．关于抛物线4)1(32
-+-=x y ，下列说法正确的是 （ ）
A ．抛物线的对称轴是直线1=x ；
B ．抛物线在y 轴上的截距是4-；
C ．抛物线的顶点坐标是（41--，）
； D ．抛物线的开口方向向上． 3．已知函数2
22y x x =--的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得y ≤1时，x 的取值范围是 （ ）
A ．3x -≥
B ．31x -≤≤
C ． 13x -≤≤
D ．1x -≤或3x ≥
4．对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ ）
A ．抛物线的开口向下 ；
B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ；
C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点；
D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的．
3）二次函数的平移问题
1．把抛物线22y x =--平移后得到抛物线2y x =-,平移的方法可以是（ ）． A. 沿y 轴向上平移2个单位； B. 沿y 轴向下平移2个单位； C. 沿x 轴向右平移2个单位； D. 沿x 轴向左平移2个单位．
2. 把抛物线()2
16+=x y 平移后得到抛物线2
6x y = ，平移的方法可以是 （ ）.
A. 沿y 轴向上平移1个单位；
B. 沿y 轴向下平移1个单位；
C. 沿x 轴向左平移1个单位；
D. 沿x 轴向右平移1个单位. 巩固练习
1．已知抛物线解析式为243y x x =--，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的
坐标是__________．
2．二次函数322
+=x y 图象的顶点坐标是 .
3．如果二次函数()
()2112
2
+-++=x k x k y ，那么它的图象的开口向 .
4. 如果)8,(x A ，),2(y B -是二次函数2
2
1x y =
图像上的两个点，那么=+y x . 5．抛物线c bx x y ++=2
经过点)3,0(和)0,1(-，那么抛物线的解析式是 ． 6．如果二次函数a x x y ++=2
与x 轴有交点,那么实数a 的取值范围是 .
7. 抛物线12-=ax y 上有一点)2,2(P ，平移该抛物线，使其顶点落在点)1,1(A 处，这时，点P 落
在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．
二、 二次函数解答题典型例题
例1.在直角坐标平面内，已知抛物线()()012
>-=a x a y 顶点为A ,与y 轴交于点C ，点B 是抛物线上另
一点，且横坐标为3，若⊿ABC 为直角三角形时，求a 的值.
例2．如图，抛物线322
++=ax ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 和点B 分别在x 轴
的正、负半轴上），3cot =∠OCA ． （1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点E 、F （点F 在点E 的左边），如果四边形OBFE 是平行四边形，
求点E 的坐标．
巩固练习
1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO =1
2
，CO =BO ，AB =3，求这条抛物线的函数解析式.
C
y
O A B
x
C
x
y o
A 1
1-4
B
三、二次函数与相似结合题
例1. 抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，已知该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ， （1）根据图象所给信息，求出抛物线的解析式； （2）求直线BC 与y 轴交点D 的坐标；
（3）点P 是直线BC 上的一点，且APB ∆与DOB ∆相似，求点P 的坐标.
例2．如图9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数图像经过(1,2)A -、(3,2)B -和(0,1)C 三点，顶点为P ．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点P 的坐标； （2）联结PC 、BC ，求BCP ∠的正切值；
（3）能否在第一象限内找到一点Q ,使得以Q 、C 、A 三点为顶点的三角形与以C 、P 、B 三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点Q 共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由．
自我测试
1．下列抛物线中，顶点在第一象限内的是 ( ) A.2)1(21-=x y B. 3212+=x y C. 3)1(212++=x y D. 3)1(2
1
2+-=x y . 2．若A （113,4
y -
）
，B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数2
45y x x =--的图像上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是 （ ）．
A.123y y y <<
B. 321y y y <<
C. 312y y y <<
D. 132y y y << 3．将抛物线y =2x 2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是( ) A. y=2(x+1)2 +3； B. y=2(x －1)2－3； C. y=2(x+1)2－3； D. y=2(x －1)2+3．
4. 若二次函数k x x y +-=32
的图像与x 轴有公共点,则实数k 的取值范围是 。

5. 将二次函数22+=x y 的图像沿y 轴方向向下平移3个单位,则所得图像的函数解析式是_________.
6.已知抛物线c bx ax y ++=2的开口向下，对称轴为直线1=x ，若点()1,1y A -与()2,2y B -是此抛物线
上的两点，则1y ________2y .（填“>”或“<”）
7. 如果抛物线()12
+++=m m x y 的对称轴是x =2，那么它的顶点坐标是 .
8.如图，二次函数c bx ax y ++=2
的图像经过点()()()30,0,1,0,3，
C B A -. (1)求此函数的解析式；
(2)用配方法（写出配方过程）将此函数化为()k m x a y ++=2
的形式，并写出其顶点坐标；
(3)在线段AC 上是否存在点P （不含A 、C 两点），使ABP ∆与ABC ∆相似？若存在，请求出点P 的
坐标；若不存在，请说明理由.。