利用定义证明函数单调性的步骤
[注意] 作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多 为几个因式乘积的形式．
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第三章 函数的概念与性质
1．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )
①y＝|x|＋1；②y＝|xx|；③y＝－|xx2|；④y＝x＋|xx|.
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
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2．函数的单调性与单调区间
第三章 函数的概念与性质
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝ f(x)的_单__调__区__间__．
■名师点拨
单调性的两个特性
(1)“整体”性：单调函数在同一个单调区间上具有的性质是相 同的．
(2)“局部”性：指的是一个函数在定义域的不同区间内可以有 不同的单调性．
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第三章 函数的概念与性质
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( × ) (2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单 调递减区间是[1，3]．( × ) (3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3)．( √ ) (4)若函数 y＝f(x)在定义域上有 f(1)<f(2)，则函数 y＝f(x)是增函 数．( × ) (5)若函数 f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则 f(x)在 (－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．( × )
第三章 函数的概念与性质
■名师点拨 (1)增减函数定义中 x1，x2 的三个特征 ①任意性：定义中符号“∀”不能去掉，应用时不能以特殊代 替一般； ②有大小：一般令 x1<x2； ③同区间：x1 和 x2 属于同一个单调区间． (2)增减函数与自变量、函数值的互推关系 ①x1<x2，f(x1)<f(x2)，符号一致⇔增函数； ②x1<x2，f(x1)>f(x2)，符号相反⇔减函数．
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第三章 函数的概念与性质
(2)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＞__f(_x_2_) ___，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减(如图②) 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__减__时，我们就称它 是减函数．
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第三章 函数的概念与性质
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第三章 函数的概念与性质
函数 y＝f(x)在区间[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的 增区间是( )
A．[－2，0]
B．[0，1]
C．[－2，1]
D．[－1，1]
解析：选 C.观察图象可知此函数的增区间是[－2，1]．
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第三章 函数的概念与性质
下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
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第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 0＜x1＜x2＜2， 所以 x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
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第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基性质
3.2.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
第三章 函数的概念与性质
考点
学习目标
函数单调性 的判定与证明
了解函数单调性的概念，会 用定义判断或证明函数的
单调性
求函数的 会借助图象和定义求函数
单调区间
的单调区间
函数单调 会根据函数的单调性求参
性的应用
数或解参数不等式
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第三章 函数的概念与性质
解析：选 C.①y＝|x|＋1＝－x＋1(x＜0)在(－∞，0)上为减函数； ②y＝|xx|＝－1(x＜0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函 数；③y＝－|xx2|＝x(x＜0)在(－∞，0)上是增函数；④y＝x＋|xx|＝ x－1(x＜0)在(－∞，0)上也是增函数．
核心素养
逻辑推理
数学运算， 直观想象 数学运算， 直观想象
第三章 函数的概念与性质
问题导学 预习教材 P76－P79，并思考以下问题： 1．增函数、减函数的概念是什么？ 2．函数的单调性和单调区间有什么关系？
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第三章 函数的概念与性质
1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＜__f(_x_2_) __，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递增(如图①)． 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__增__时，我们就称它 是增函数．
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 2＜x1＜x2，所以 x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．
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第三章 函数的概念与性质
(变问法)若本例的函数不变，试判断 f(x)在(0，2)上的单调性． 解：函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减． 证明：∀x1，x2∈(0，2)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4（xx21－x2x1）
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第三章 函数的概念与性质
函数单调性的判定与证明 证明函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数． 【证明】 ∀x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4（xx21－x2x1）
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第三章 函数的概念与性质
A．y＝－1x
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝1－x
答案：D
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第三章 函数的概念与性质
若 y＝(2k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则有( )
A．k>12
B．k>－12
C．k<12 答案：C
D．k<－12
函数 f(x)＝x2＋2x＋1 的单调递减区间是__________．
答案：(－∞，－1]