所以，b＝
22，△ABC
外接圆的半径
R＝
2 2.
3．解三角形 (1)定义：一般地，把三角形三个角 A、B、C 和它们的对边 a、b、c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元 素的过程叫做解三角形． (2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题： ①已知任意两角与一边，求其他两边和一角． ②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而 进一步求出其他的边和角)． (3)已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方 法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判 断解的个数．
1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
正弦定理的向量法证明： 证明：(向量法) 当△ABC 是锐角三角形时，如图(1)所示， 过点 A 作单位 向量 i 垂直于 AB，因为A→C＝A→B＋B→C，所以 i·A→C＝i·A→B＋i·B→C， 所以 b·cos(90°－A)＝c·cos90°＋a·cos(90°－B)，即 bsinA＝asinB， 得sianA＝sibnB.同理可得sianA＝sincC，所以sianA＝sibnB＝sincC.
(4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化．
有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是
定值；
④在△ABC 中，sinA B C＝a b C．
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
数学
人教A版 ·必修5
第一章 解三角形
在本章“解三角形”的引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离 地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者 的距离，那么，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对 于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等 三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法．阿基米德说过： “给我一个支点，我可以撬起地球．”但实际情况是根本找不到这样的支 点．全等三角形法有时就像这样，你根本没有足够的空间去构造出全等三角形， 所以每种方法都有它的局限性．其实上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的，从本节我们开始学习正弦定理、余弦定理以及它们在科学实践中的应用， 看看它们能解决这个问题吗？
1.任意三角形的内角和为________；三条边满足：两边之和________第三边， 两边之差________第三边，并且大边对________，小边对________．
2．直角三角形的三边长a，b，c(斜边)满足________定理，即________．
[答案] 1.180° 大于 小于 大角 小角 2.勾股 a2＋b2＝c2
(3)sinB＝bsina60°＝190×
23＝5 9 3，而
35 2<
9
3<1，
∴当 B 为锐角时，满足 sinB＝593的 B 的取值范围为
当△ABC是钝角三角形时，如图(2)所示，也可类似证明．
对正弦定理的理解： (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应角的正弦之间的一个关
系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．
②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去 顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：
A 为钝角 A 为直角 A 为锐角
a>b 一解
一解
一解
a＝b 无解
无解
一解
a>bsinA 两解
a<b 无解
无解 a＝bsinA 一解
a<bsinA 无解
图示已知a、b、A，△ABC解的情况． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：
第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
“无限风光在险峰”，在充满象征色彩的诗意里，对险峰的慨叹跃然纸上，成 为千古之佳句．对于难以到达的险峰应如何测出其海拔高度呢？能通过在水平 飞行的飞机上测量飞机下方的险峰海拔高度吗？在本节中，我们将学习正弦定 理，借助已学的三角形的边角关系解决类似于上述问题的实际问题.
[解析] 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角 形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质 和正弦定理可推知④正确．故选B.
2．正弦定理的变形形式 (1)a＝bssiinnBA＝cssiinnCA， b＝assiinnAB＝cssiinnCB， c＝assiinnAC＝bssiinnBC. (2)sinA＝asbinB＝asicnC， sinB＝bsainA＝bsicnC， sinC＝csianA＝csibnB.
(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：
不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°.
[解析]
(1)sinB＝bsina120°＝45×
3 2<
23，
∴△ABC 有一解．
(2)sinB＝bsina150°＝1，∴△ABC 无解．
(3)a b c＝sinA sinB sinC．
(4)边化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．
(5)角化边公式：sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR. (6)sianA＝sibnB＝sincC＝sinA＋a＋sinbB＋＋c sinC＝2R.其中，R 为△ ABC 外接圆的半径．
在△ABC 中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求边 b 的长及△ABC
外接圆的半径 R.
[解析] 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1.
由正弦定理，得sibnB＝sincC＝2R，
所以 b＝cssiinnCB＝1×sinsi4n53°0°＝ 22，
2R＝sincC＝sin145°＝
2，得
R＝
2 2.