第3讲 三重积分的计算
一、直角坐标系下三重积分的计算
１.先一后二法
例1 计算
V xdV ⎰⎰⎰，其中V 是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的闭区域. 例2 计算V
zdV ⎰⎰⎰,
其中{(,,)|0V x y z z =≤≤ 例 3 计算三重积分
cos()V y x z dxdydz +⎰⎰⎰,其中V
是由抛物柱面y =及平面0,0y z ==及2x z π+=所围区域.
2.先二后一法
例4 计算sin V
z dxdydz z ⎰⎰⎰,其中V 是由平面,0,0z x y x y =+==及z π=所围成的立体. 例5 已知椭球222222:1x y z V a b c ++≤,其密度222
222x y z a b c
ρ=++,求该椭球体的质量m . 二、柱面坐标下三重积分的计算（适用于有旋转体类型的区域）
例1 计算V
I zdV =⎰⎰⎰,其中V 是由柱面221x y +=,
锥面z =及平面0z =围成的区域. 例2 计算22
()V I x y dV =+⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面2z =围成的空
间区域.
三、球面坐标下三重积分的计算（适用于区域含球形的情形）
例1 计算2V I x dV =
⎰⎰⎰,其中V
由曲面z =
和z = 0R >围成. 例2 计算222[()
()()]V I x y y z z x dxdydz =-+-+-⎰⎰⎰,其中
2222{(,,)|}V x y z x y z R =++≤
例3 计算V xyzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 为球体2222x
y z a ++≤在第一卦限的部分.
例4 求抛物面222z x y =+与2262z x y =--所围立体的体积.
练习：
1、2
V I z dV =⎰⎰⎰，222222:1x y z V a b c ++≤ 3415abc π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2
、V I =
，2222:(1)1,8V x y z x y +-==+及0z =所围。

6475⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3、()V I x z dV =
+⎰⎰⎰
，:V z =
z =8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 4、()V
I x y z dV =++⎰⎰⎰，2222:,0,0,0V x y z R x y z ++≤≥≥≥所围。

4316R π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5、2()V
I x y z dV =++⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面1z =围成的空间区
域. 76π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
6、已知()f x 连续，222()[()]V F t z f x y dV =++⎰⎰⎰，其中222:0,V z h x y t ≤≤+≤，求'()F t ，20()lim t F t t +→。