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数学的起源与早期发展101109


古代巴比伦的数学
泥版楔形文
普林顿322
普林顿322实际上是一张表格,由4列15行六十进制数字组 成:第二、三列是具有整数边长的直角三角形的斜边和直角边 长(互素),第四列是直角边所对的角的正割平方,角度以约1 度的间距从45度减至31度。(2,9,13,15行有笔误)
十进位值制记数法的特点和意义
特点:一是逢十进一;二是每个数码既有其自身的绝对值,
又有其所在位数的十进制值。
意义:与世界其他古老民族的记数法比较:古埃及的数字
系统没有位值制,但如要记稍大一点的数目就相当繁难。古 美洲玛雅人虽然懂得位值制,但用的是20进位;古巴比伦人 也知道位值制,但用的是60进位。20进位至少需要19个数 码,60进位则需要59个数码,这就使记数和运算变得十分繁 复,远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位值制 来得简捷方便。 数学是自然科学的基础,十进位值制在数学发展过程中 有着至关重要的作用。这种记数法的奇妙在于用有限的符号 可以表示无穷无尽的数,简捷、明快,方便运算。没有它, 算术上的任何进步都是不可能的。
• 算具计数阶段 为不丢失零散的匹配工具(小石子、 果核、贝壳),人们把它们串在细绳或 小树枝上或放在罐里,或绳结、书契, 这样计算工具得到升级。 拉丁文calculi(计算)原意是石 子,汉字“算”指细木枝。
• 数码计数阶段
– 时间:公元前5000年左右 – 原因:书契推广,记帐需要 – 意义:记数系统的出现使数与数之间的计 算成为可能 – 几种古老文明的早期记数系统
古代巴比伦的数学
苏美尔计数泥版(文达, 1982)
其年代当在公元前1600年以前
• 楔形文字 • 在发掘出 来的50万 块泥板中, 约有300多 块是数学泥 板,其中记 载有数字表 和数学问题。
西汉以前的中国数学
殷墟甲骨上数学 (商代, 公元前1400-前 1100年, 1983-84年间 河南安阳出土 )
汉像砖伏羲女娲执规矩图
中国考古文物上的几何图案
形及其度量来自于人们对自然界的感受和体 验,来自于适应大自然,改善大自然的实践活动。 各种几何图形面积、体积的计算公式是经验 积累,对近似值 、精确值不加区分,本质上属于 算术的应用。
• 埃及
– 正方形、矩形、等腰梯形等图形面积 的正确公式; ab cd – 四边形面积公式近似公式 2 2 ; h – 平截头方锥体积公式 V 3(a abb ) ; – 勾股定理;(?) – 金字塔:初等三角萌芽; – Π=3.1605
二、算术和代数的起源和发展
劳动分配 产品分配 资料分配 时间与方向 信仰与祭祀
政治管理
四则运算 开方运算 解方程 级数
天文学
商品交易
• 加法:加法运算是伴随着数的产生而产生,匹配的过程 加法
实质上就是加法运算的过程。经验得到:加法的结合律。 – 2+2=4? – 皮亚诺提出1,后继和自然数3个概念和五条公理:
2 35 这个问题相当于求解方程 x 3 x 60
2
2

泥板上的解法相当于将方程 x px q 的系数代入 公式 x ( p ) 2 q p 求解,只不过在计算时用的是60 2 2 进制。
在一块泥板上,他们给出这样的数表,它不仅包含了从1到30的整数 的平方和立方,还包含这个范围的整数组合 n 3 n 2 ,专 家经研究认为,这个数表是用来解决形如 的 x3 x 2 b 三次方程的。
西汉以前的中国数学
秦简法口诀表 (2002年湖南龙山里耶出土)
一、自然数及其记数法的产生和发展
阿拉伯数字记数系统三要素: 自然数、十进制、位值制记数法
自然数和进位制的产生 记数法的产生和发展
自然数的产生
• 故事一 一个原始部落的族长如何分配一天所捕获 的野兔?(他遇到了确定事物多少的数量 问题,他不会数数,那应怎样解决呢?) • 故事二 古希腊《荷马史诗》:波吕裴摩斯被俄底 修斯刺瞎后,以放羊为生,他怎样知道放 的羊全回了山洞呢?
注:若将0也视作自然数,则公理中的1要换成0。
• 定义(加法):存在唯一的 二元运算(规定) +: NxN→N滿足以下的性质: 对任意的自然数x、y,有
– x+0=x; – x+y'=(x+y)'。
皮亚诺(意大利, 1858-1932)
• 乘法、除法
– 埃及:加倍程序与单位分数
– 古巴比伦:乘法表 – 中国:九九表(春秋时代齐国国君齐桓公招贤)
• 亚里士多德:采用十进制是因为多数人生来具有十个手指。 • 60进制:最初起源于巴比伦。(最初于1854年在巴比伦的 泥板上发现,这些泥板大约是公元前2300年到公元前1600 年的遗物。) – 巴比伦人最初认为一年为360天,太阳每天走一(步) (即一度),当时巴比伦人已熟知六等分圆,结合起来得 到60进位。(年、月、日、度、分、秒、星期) – 认为60是许多简单数字如2,3,4,5,6,10,12, …的公倍 数,它可以使一些较大单位的1/2,1/3,2/3,1/10…的小单 位,在转化为较大单位时成为整数。 – 认为60=12×5,12是一年包含的月数,5是一只手的手指 数。
三、几何的起源和发展
最初的几何知识从人们在 生活生产实践(农业生产、房 屋堤坝建造、纺织、陶器制作 等)中对形的直觉中萌发出来。 这组照片显示了早期人类不止 是对圆、三角形、正方形等一 系列几何形式的认识,而且还 有对全等、相似、对称等几何 性质的应用。 在不同地区,几何学的 来源不尽相同: ● 古埃及: 土地的丈量 ● 古印度:宗教实践 ● 古代中国:天文观测
数的产生
如何确定事物的“多少”?
• 方法:匹配 • 思想:一一对应 • 匹配对应的对象:手指、石子、贝壳、果核、绳结、划痕
手指计数(伊朗,1966) 结绳计数(秘鲁,1972) 基普(印加)
幼狼胫骨(捷克)
• 伊拉克发现蛋形泥罐,表面刻有某种牲畜,里面放着48颗 泥粒。
进位制的产生
匹配的原对象数量较多,匹配对象数量 有限时怎么办? • 进位制类别:2、5、10(中国、埃及)、 12、20(玛雅)、60(巴比伦)进制 • 《周易.系辞下》:“上古结绳而治,后世易 之以书契。”“书契”就是刻画符号,体现进 位制想法。
200,300,500,2656
位值制
同一数字符号在不同位置表示不同的数值。 这一做 法充分体现了固定(位置固定)与变化(符号变化);有 限(数码符号个数有限)与无限(表示的数值无限)的辩 证关系。 古巴比伦契形文字(60进位:60以上) 7322 1;24,51,10 1 24 51 10 1.414213 60 602 603 7202 中国算筹计数(10进位) 6728 • 《孙子算经》:“凡算之法,先识其位。一纵十横,百立 千僵,千十相望,百万相当……,六不积,五不只。 • 十进位位值制记数产生于中国,是与算筹的使用与筹算制 十进位位值制记数产生于中国 度的演进分不开的。 记数系统
①1是自然数;
②每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a' ,a' 也是自然 数(一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,1的后继 数是2,2的后继数是3等等); ③如果b、c都是自然数a的后继数,那么b=c; ④1不是任何自然数的后继数; ⑤任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数1是对的,又假定 它对自然数n为真时,可以证明它对n‘ 也真,那么,命题对所有 自然数都真。(这条公理也叫归纳公设,保证了数学归纳法的正 确性)
长度单位:
丈、尺、寸、分以下,载有厘、毫、丝、忽等十进制 单位
容积单位:
斛、斗、升、合以下,载有勺、抄、撮、圭等十进制 单位
人 类 生 活 与 生 产 实 践 的 需 要
对 应 原 则
结绳 书契 掐指
语 言 产 生
有-无
多-少
实物计数
口头计数
抽 象
数的概念的形成大约是在30万年以前
记数法的起源和发展
• 开方运算
– 美索不达米亚
– 耶鲁第7289号泥板
2
:1+24/60+51/602+10/603≈1.4142155
– 数表:平方表、立方表、平方根表、立方根表、 指对数表(复利问题)(200块泥板)
• 解方程
– 埃及
– 古巴比伦:公式求解一元二次方程、用表求解 特殊三次方程
– 英国大不列颠博物馆13901号泥板: “我把我的正方形的面积加上正方形边长的三分之二 得35/60,求该正方形的边长。”
• 设有本金为1,利率为20%,问需要多久即可使利息与本金 相等。 (120%)x 2 。解的结果是x=4年减去 这需要求解指数方程 (2+33/60+20/602)月。 • 已知依几布姆比依古姆大7。问依几布姆和依古姆各为多 少? 1
• 级数
– 埃及 • 莱茵德纸草书第79题:7座房,49只猫,343只 老鼠,2401棵麦穗,16807赫卡特。 7座房子,每座房子养7只猫,每只猫吃7只老 鼠,每只老鼠吃7棵麦穗,每棵麦穗产7赫卡特 粮食,问房子、猫、老鼠、麦穗、赫卡特各数 之总和。 – 巴比伦
拉普拉斯(1749~1827)
学习内容
一、自然数及其记数法的产生和发展 二、算术和代数的起源和早期发展 三、几何的起源和早期发展
• 河谷文明与早期数学

古代埃及 古巴比伦 古代中国 古代印度
古代埃及的数学
莱茵德纸草书 84个问题 公元前1850~前1650年
莫斯科纸草书 25个问题
2 2
吉萨金字塔(公元前2600年) (刚果,1978)
• 美索不达米亚
– 三角形、梯形等平面图形面积和棱柱、 平截头方锥的体积公式; – 知道并利用图形的相似性概念; ab cd – 四边形面积公式 ; 2 2 1 – Π= 3 8 ; – 勾股定理广泛应用
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