中考总复习（十）——代数综合题二. 数学目标及综合题简介综合题是指涉及的知识内容多，或应用数学思想方法比较多的题目．按内容可分为代数综合题和几何综合题，也有两个学科综合在一起的题目．初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程、不等式的解法，一元二次方程的解法和判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【典型例题】例1. 方程0)2x (x ax x 12x ax =-+++-有且仅有一个实根，求a 的值．分析：解分式方程的基本方法是把它转化为整式方程，而这个整式方程的根可能是原方程的根，也可能是原方程的增根，本题条件中分式方程有且仅有一个实根，则有以下三种可能的情况：（1）转化为整式方程后是一元一次方程，且它的根不是原方程的增根；（2）转化为整式方程后是一元二次方程，该方程有两个相等实根，且不是原方程的增根；（3）转化为整式方程后是一元二次方程，且这个一元二次方程的两个根中有一个是原方程的增根，另一个不是增根．解：把原方程去分母，整理得：02a x 2ax 2=-++（1）当a=0时，x=1，经检验是原方程的根； （2）当0a ≠时，①若方程02a x 2ax 2=-++有两个相等实根，则△=0 即0)2a (a 44=--解之得21a ±=当21a +=时，21x -=，经检验是原方程的根． 当21a -=时，12x +=，经检验是原方程的根．②若方程02a x 2ax 2=-++有两个不等实根，且一个是原方程的增根，另一个是原方程的根，则（1）设x=0是02a x 2ax 2=-++的根，则a=2，此时，另一根1x -=，经检验是原方程的根．（2）设x=2是02a x 2ax 2=-++的根，则52a -=，此时，另一根为x=3，经检验是原方程的根．综上所述：当21a ,0a ±==，a=2，或52a -=时，方程0)2x (x a x x 12x ax =-+++-有且仅有一个实根．例2. 已知二次函数)a c (bx 2x )c a (y 2--++=，其中a 、b 、c 是△ABC 的三边，且b 2c a ,c a ,b a =+≥≥．（1）若这个二次函数的图像经过原点，试证：△ABC 是等边三角形；（2）若△ABC 是直角三角形，试证：这个二次函数的图像除顶点以外都在x 轴上方． 分析：（1）从结论看，要证△ABC 是等边三角形，需证a=b=c ；从条件看，由函数图像通过原点，可知（0，0）满足该函数的解析式，将之代入变形，寻找a=b=c 的关系．（2）从结论看，要证二次函数的图像除顶点外都在x 轴上方，那么解析式配方后n )m x (a y 2++=，其中n=0；从条件看，利用△ABC 是b 2c a ,Rt =+∆，可将a 、b 、c 均用a 表示，通过配方观察结论．证明：（1）由)(2)(2a c bx x c a y --++=图像过原点，得a=c 又b 2c a =+c b a ==∴即△ABC 是等边三角形（2）由△ABC 是Rt △，及c a ,b a ≥≥222c b a +=∴ 又b 2c a =+a53c ,a 54b ==∴ 0)21x (a 58a 52ax 58ax 58y 22≥+=++=∴ ∴二次函数的图像除顶点外都在x 轴上方例3. 如图①是某城市三月份1至10日的最低气温随时间变化的图像．①②（1）根据图①提供的信息，在图②中补全直方图； （2）这10天最低气温的众数是_______________℃，最低气温的中位数是_________℃，最低气温的平均数是_______________℃．分析：这是一道统计图表与数据的分析的应用，看懂图形是关键． 解：（1）如图（2）2，0，0例4. 关于x 的方程)c bx (2)1x )(1x )(c a (+=-+-有两个相等实根，其中a ，b ，c 为△ABC中∠A 、∠B 、∠C 的对边，若0c b 4ac 2a 222=+-+，求B sin 和tgA 的值．分析：从题目结构看是把方程的知识，三角形边角关系“串联”起来，知识衔接关系清楚，属组合型综合题．解：把方程)c bx (2)1x )(1x )(c a (+=-+-整理得0c a bx 2x )c a (2=---- 因为方程有两个相等实根，所以0c a ≠-，且△=0 即0)c a )(c a (4b 42=+-+ 0c a b 222=-+∴∴△ABC 为直角三角形，∠C=90°由0c b 4ac 2a 222=+-+可得 0b 2c a 0b 2c a 0)b 2c a )(b 2c a (=-+>++=-+++由⎩⎨⎧=-=+c a b 2c a b 222可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==c54b c 53a ABC Rt ∆∴中，5:4:3c :b :a =43b a tgA ,54c b B sin ====∴例5. 若不等式0)1ax )(2x (>-+的解集是2x 3-<<-，那么a 的值是（ ）A. 31B.31-C. 3D. 3-解：设)1ax )(2x (y -+=，整理得2x )1a 2(ax y 2--+= 显然，这个二次函数图像与x 轴交于)0,2(),0,3(--把)0,3(-代入2x )1a 2(ax y 2--+=，得2)3()1a 2()3(a 02--⨯-+-⋅=解得31a -=答案：B说明：此题是用函数及图像解决不等式的问题，可见用函数思想处理一元二次不等式的有关问题很有实用价值．例 6. 二次函数c bx ax y 2++=的图像如图所示，下列三个代数式b a 2,ac 4b ,c b a ,ac ,ab 2+-+-中，值大于0的个数为（ ）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个解：观察图像可知0a >，01a 2b,0c <-=-<0ac ,0ab ,0b a 2a2b ,0b <>>+∴<->∴当1x -=时，0y <即0c b a <+-∵抛物线与x 轴有两个交点∴0ac 4b 2>-因此在所给代数式中值大于0的个数为3个． 答案：C说明：本题渗透了数形结合思想，结合二次函数，一元二次方程的知识，确定a ，b ，c ，△的符号是解决此题的关键．例7. 已知一次函数6x y +-=和反比例函数x ky =的图像都经过A 、B 两点，A 点的横坐标为1x ，B 点的横坐标为2x ，且6x x 221=-．（1）求k 的值；（2）求△OAB 的面积；（3）若一条开口向下的抛物线过A 、B 两点，并在过点B 且和OA 平行的直线上截得的线段长为52，试求该抛物线的解析式．分析：（1）一次函数6x y +-=和反比例函数x ky =和图像相交，即可组成方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x k y 6x y ，化简得到关于x 的一元二次方程，方程的两个根就是1x 、2x ．（2）△OAB 的面积可转化为△OBC 的面积和△AOC 面积差来求．（3）已知抛物线过A 、B 两点，只要求得和OA 平行的直线与抛物线交点坐标，由“三点式”即可求得抛物线的解析式．解：（1）依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x k y 6x y解得0k x 6x 2=+-由⎩⎨⎧=-=+6x x 26x x 2121 解得2x ,4x 21==8x x k 21=⋅=∴（2）由2x ,4x 21==，相应地可得4y ,2y 21==设直线6x y +-=与x 轴交于点C ，则C 点坐标为（6，0），又知A 、B 两点的坐标分别为（4，2）、（2，4），则由图知：626214621S S S AOC BOC OAB =⨯⨯-⨯⨯=-=∆∆∆（3）设过点B 且和OA 平行的直线交x 轴于D ，与抛物线交于E ，分别作'AA 、'BB 、'EE 垂直于x 轴，垂足分别为'A 、'B 、'E ．设β=∠α=∠AOC ,BDC552cos ,55sin 21tan tan =α=α∴=β=α 54554sin 'BB BD =÷=α=又由题设，52BE =2sin 52'EE ,52DE =α⋅==∴ 2248O 'E 8cos 54'DB 4cos 52'DE =--=⇒⎪⎭⎪⎬⎫=α⋅==α⋅=又 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++∴2c b 2a 44c b 2a 42c b 4a 16 解此方程组得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=4c 21b 41a∴抛物线的解析式为4x 21x 41y 2++-=说明：这是一道函数综合题，E 点的坐标也可以通过全等三角形的方法来求，还可以运用平行四边形的性质来求，请你试一试．例8. 已知点)0,3(C ),0,0(B ),1,3(A ，AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则直线AE 对应的函数表达式是（ ）A.332x y -=B. 2x y -=C. 1x 3y -=D. 2x 3y -=解：建立直角坐标系如图由)0,3(C ),1,3(A 知AC ⊥x 轴．∆∆∴Rt ABC 为︒=∠∴︒=∠∴===∠60BAC 30ABC 3331OC AC AOC tg∵AE 平分∠BAC ∴∠EAC=30° 332333EC BC BE 3333130ACtg EC =-=-=∴=⋅=︒=∴∴点E 坐标为)0,332(设过A 、E 两点的解析式为b kx y +=得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=b k 31b k 3320 解之⎪⎩⎪⎨⎧-==2b 3k ∴直线AE 的函数表达式为2x 3y -= 故选B说明：此题是利用三角函数，一次函数和几何知识为主的综合题，利用点的坐标求角的大小是解题的关键．同时注意E 点的横坐标是求OE 的长．例9. 如图，点O 是坐标原点，点)0,n (A 是x 轴上一动点)0n (<，以AO 为一边作矩形AOBC 使OB=2OA ，点C 在第二象限，将矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90°得矩形AGDE ，过点A 的直线)0k (m kx y ≠+=，交y 轴于点F ，FB=FA ，抛物线c bx ax y 2++=过点E ，F ，G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作x 轴的垂线，垂足为点M ．（1）求k 的值；（2）求A 位置改变时，△AMH 的面积和矩形AOBC 的面积比是否改变？说明你的理由．解：（1）根据题意得到：)n 2,0(B - 当0x =时，m m kx y =+= ∴点F 坐标为)m ,0(而m n 2FB --=∵在AOF Rt ∆中，222n m AF += 又FB=AF222)m n 2(n m --=+∴化简得：n43m -= 对于n43kx y -=过点)0,n (A 43k n43kn 0=∴-=∴（2）∵抛物线c bx ax y 2++=过点)0,n 3(E ，点)n 43,0(F -，点)n ,n (G - ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++=∴c n 43c nb a n n c nb 3a n 9022解得：n43c ,21b ,n 41a -=-== ∴抛物线为n43x 21x n 41y 2--= 解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=n 43x 43y n 43x 21x n 41y 2得：n43y ,0x ,n 3y ,n 5x 2211-====∴H 坐标：)n 3,n 5(，n 4n 5n AM ,n 3HM -=-=-=AMH S ∆∴的面积2n 6AM HM 21=⨯⨯=，而2AOBC n 2S =矩形3S SADBCAMH =∴∆矩形，不随着点A 的位置的改变而改变说明：此题由矩形两边关系求点F ，点E ，点G 的坐标是关键，又由直线和二次函数的解析式求出点H 的坐标，从而推出面积的比．例10. 如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是)8,0(E ),0,2(B ),0,4(A --．（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A 、点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M 、点N 同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．分析：（1）由中心对称知识求对称点坐标，从而求出2C 的解析式． （2）由中心对称的性质，确定四边形MDNA 为平行四边形，由面积关系求函数解析式．（3）由二次函数的性质或顶点坐标公式求最大值．（4）从平行四边形的对角线出发，若为矩形则对角线AD=MN ，从而求出t 的值． 解：（1）点)0,4(A -，点B )0,2(-，点E （0，8）关于原点的对称点分别为D （4，0），C （2，0），)8,0(F -．设抛物线2C 的解析式是)0a (c bx ax y 2≠++=则⎪⎩⎪⎨⎧-==++=++8c 0c b 2a 40c b 4a 16 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=8c 6b 1a∴所求抛物线的解析式是8x 6x y 2-+-= （2）由（1）可计算得点)1,3(N ),1,3(M -- 过点N 作NH ⊥AD ，垂足为H当运动到时刻t 时，AD=2OD=t 28-，NH=1+2t ． 根据中心对称的性质ON OM ,OD OA == ∴四边形MDNA 是平行四边形 ADN S 2S ∆=∴∴四边形MDNA 的面积8t 14t 4)t 21)(t 28(S 2++-=+-= ∵运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知4t 0<≤ ∴所求关系式是8t 14t 4S 2++-=，t 的取值范围是4t 0<≤（3）)40(,481)47(42<≤+--=t t S47t =∴时，S 有最大值481提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD 、MN ∴当AD=MN 时四边形MDNA 是矩形 ∴OD=ON2222NH OH ON OD +==∴ 02t 4t 2=-+∴解之得26t ,26t 21--=-=（舍）∴在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时26t -= 小结：综合性问题往往设计新颖，涉及的知识点多，条件与结论隐蔽，解决综合性问题，需要我们具备一定的阅读能力，分析问题和解决问题的能力．【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题1. 在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ） A. 直线x y =上 B. 直线x y -=上 C. 抛物线2x y =上 D. 双曲线x 1y =上2. 已知a 、b 为实数，下列各式中一定为正值的是（ ）A. 2a 2a 2+-B.2)b a (+C. 22b a +D. |2b |)1a (2++-3. 已知5c b ,3b a -=+=-，则代数式ab a bc ac 2-+-的值是（ ） A. 15- B. 2- C. 6- D. 6 4. 已知x 、y 是实数，096432=+-++y y x ，若y x 3a x y=-，则实数a 的值是（ ）A. 41B. 41-C. 47D. 47-5. 已知a 、b 、c 均为正数，且kb a ca cbc b a =+=+=+，则下列四个点中，在正比例函数kx y =图像上的点的坐标是（ ）A.)21,1( B. )2,1( C. )21,1(- D. )1,1(-6. 已知函数5x y -=，令21x =、1、23、2、25、3、27、4、29、5，可得函数图像上的十个点，在这十个点中随机取两个点)y ,x (P 11、)y ,x (Q 22，则P 、Q 两点在同一反比例函数图像上的概率是（ ）A. 91B. 454C. 457D. 52二. 填空题7. 若0)1y x (|3x |2=+-+-，计算：=++4y xy y x 322___________．8. 若点)5,b a (P -+与)b a 3,1(-关于原点对称，则关于x 的二次三项式2bax 2x 2--可以分解为___________．9. 点)n ,m (P 既在反比例函数)0x (x 2y >-=的图像上，又在一次函数2x y --=的图像上，则以m ，n 为根的一元二次方程为___________．10. 已知点A 、B 在x 轴上，分别以A 、B 为圆心的两圆相交于)5,b a 3(M -、)b 3a 2,9(N +，则ba 的值是___________．11. 如图，在直角坐标系中，射线Ox 绕原点O 逆时针旋转330°到OA 的位置，若OP=2，则点P 的坐标为___________．三. 解答题12. 当︒+︒=60tan 45sin 2x 时，先将代数式)1x 11(1x x 2-+÷-化简后再求值．13. 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=++=-a 5y x 23a y x 的解满足0y x >>，化简|a 3||a |-+．14. 已知抛物线8x 2x y 2--=（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积．15. 如图，已知直线x 21y -=与抛物线6x 41y 2+-=交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图②，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A 、B 两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A 、B 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．① ②【试题答案】一. 选择题1—6 DACAAB二. 填空题：7. 10 8. 2)1x (- 9. 02z 2z 2=-+ 10. 8111. )1,3(-12. 31x += ∴原式3213111x 1-=++=+=三. 解答题13. 解：⎩⎨⎧=++=-a 5y x 23a y x解得⎩⎨⎧-=+=2a y 1a 2x由0y x >>⎩⎨⎧>-->+∴02a 2a 1a 2解得2>a①当3a 2≤<时，3a 3a |a 3||a |=-+=-+②当3a >时，3a 23a a |a 3||a |-=-+=-+（写为：⎩⎨⎧>-≤<=-+)3a (3a 2)3a 2(3|a 3||a |也可） 14. 解（1）证明：∵对方程08x 2x 2=--，其判别式036>=∆∴方程08x 2x 2=--有两个不相等的实根即抛物线8x 2x y 2--=与x 轴一定有两个交点（2）解：∵方程08x 2x 2=--的两个根为4x ,2x 21=-=6|x x |AB 21=-=∴又抛物线顶点P 的纵坐标9a 4b ac 4y 2P -=-= 所以，27|y |AB 21S P ABP =⋅⋅=∆15. 解（1）解：依题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=x y x y 216412解之得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==2y 4x ,3y 6x 2211 )2,4(B ),3,6(A --∴（2）作AB 的垂直平分线交x 轴，y 轴于C 、D 两点，交AB 于M （如答图）由（1）可知：52OB ,53OA ==25OB AB 21OM 55AB =-=∴=∴过B 作BE ⊥x 轴，E 为垂足由△BEO ∽△OCM ，得：OE OM OB OC =45OC =∴ 同理：25OD = )25,0(D ),0,45(C -∴设CD 的解析式为)0k (b kx y ≠+=⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∴25b 2k b 25b k 450 ∴AB 的垂直平分线的解析为：25x 2y -=（3）其存在点P 使△APB 的面积最大，则点P 在与直线AB 平行且和抛物只有一个交点的直线m x 21y +-=上，并设该直线与x 轴，y 轴交于G 、H 两点（如图）．06m x 21x 416x 41y m x 21y 22=-+-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=∴∵抛物线与直线只有一个交点)423,1(P 425m 0)6m (414)21(2∴=∴=-⨯--∴在直线GH ：425x 21y +-=中， )425,0(),0,225(H G ∴5425GH =∴ 设O 到GH 的距离为dGH //AB 525d 42522521d 452521OH OG 21d GH 21 =∴⨯⨯=⨯∴⨯⨯=⋅∴∴P 到AB 的距离等于O 到GH 的距离d41252555521d AB 21S =⨯⨯=⋅=∴最大面积【励志故事】认识自己每一种才能都有与之相应的缺点，如果你屈服于它，它将像暴君一样统治你．推翻它的办法是一开头就要看准究竟是什么样的缺点．要像那些因你的缺点而责备你的人那样注意它．你要成为自己的主人，就必须学会自省．一旦这主要的缺点投降了，所有其它不足都会随之而降．。