二次函数与几何综合题目背景07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。

几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。

因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。

要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。

要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。

题型分析题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。

（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。

解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。

要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。

（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。

解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。

在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。

1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。

2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。

二次函数与三角形综合【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C（1）求点 C 的坐标； （2）如图 1，平行于 y 轴的直线 x=3 交直线 AB 于点 D，交抛物线 C1 于点 E，平行于 y 轴 的直线 x=a 交直线 AB 于 F，交抛物线 C1 于 G，若 FG：DE=4：3，求 a 的值； （3）如图 2，将抛物线 C1 向下平移 m（m＞0）个单位得到抛物线 C2，且抛物线 C2 的顶 点为点 P，交 x 轴于点 M，交射线 BC 于点 N．NQ⊥x 轴于点 Q，当 NP 平分∠MNQ 时，求 m 的值．考点：二次函数综合题。

解答：解：（1）当 x=0 时，y=﹣2；∴A（0，﹣2）． 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，则：，解得 ∴直线 AB 解析式为 y=2x﹣2． ∵点 C 为直线 y=2x﹣2 与抛物线 y= x2﹣2 的交点，则点 C 的横、纵坐标满足：，解得、（舍）∴点 C 的坐标为（4，6）．（2）直线 x=3 分别交直线 AB 和抛物线 C1 于 D．E 两点． ∴yD=4，yE= ，∴DE= ．∵FG=DE=4：3，∴FG=2． ∵直线 x=a 分别交直线 AB 和抛物线 C1 于 F、G 两点． ∴yF=2a﹣2，yG= a2﹣2∴FG=|2a﹣ a2|=2，解得：a1=2，a2=﹣2+2 ，a3=2﹣2 ． （3）设直线 MN 交 y 轴于 T，过点 N 做 NH⊥y 轴于点 H；设点 M 的坐标为（t，0），抛物线 C2 的解析式为 y= x2﹣2﹣m； ∴0=﹣ t2﹣2﹣m，∴﹣2﹣m=﹣ t2． ∴y= x2﹣ t2，∴点 P 坐标为（0，﹣ t 2）． ∵点 N 是直线 AB 与抛物线 y= x2﹣ t2 的交点，则点 N 的横、纵坐标满足：，解得、（舍）∴N（2﹣t，2﹣2t）． NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t， ∴MQ=NQ，∴∠MNQ=45°． ∴△MOT、△NHT 均为等腰直角三角形， ∴MO=OT，HT=HN ∴OT=4，NT=﹣ ，NH= （2﹣t），PT=﹣t+ t2．∵PN 平分∠MNQ， ∴PT=NT， ∴﹣t+ t2= （2﹣t），∴t1=﹣2 ，t2=2（舍） ﹣2﹣m=﹣ t2=﹣ （﹣2 ）2，∴m=2．【 例 2】 . （ 2011 武 汉 中 考 ）如 图 1，抛 物 线 y=ax2+bx +3 经 过 A（ -3 ，0），B （ -1， 0） 两 点 . （ 1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 ； （2）设抛物 线的顶点为 M，直线 y=-2x+9 与 y 轴交于 点 C，与直 线 OM 交 于 点 D.现 将 抛 物 线 平 移 ，保 持 顶 点 在 直 线 OD 上 .若 平 移 的 抛 物 线 与 射 线 CD（ 含 端 点 C）只 有 一 个 公 共 点 ，求 它 的 顶 点 横 坐 标 的 值 或 取 值 范 围； （ 3）如 图 2，将 抛 物 线 平 移 ，当 顶 点 至 原 点 时 ，过 Q（ 0，3）作 不 平 行 于 x 轴 的 直 线 交 抛 物 线 于 E ，F 两 点 . 问 在 y 轴 的 负 半 轴 上 是 否 存 在 点 P，使 △ PEF 的 内 心 在 y 轴 上 .若 存 在 ，求 出 点 P 的 坐 标 ；若 不 存 在 ，请 说明理由.【例3】.（2010 武汉中考）如图，拋物线 y1=ax2 2ax b 经过 A( 1，0)，C(2， 3 ) 2两点，与 x 轴交于另一点 B；(1) 求此拋物线的解析式；(2) 若拋物线的顶点为 M，点 P 为线段 OB 上一动点(不与点 B 重合)，点 Q 在线段 MB 上移动，且 MPQ=45 ，设线段 OP=x，MQ= 2 y2，求 y2 与 x 的函数关系式，并直接 2写出自变量 x 的取值范围； (3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线 x=m，x=n 分别与拋物线交于点 E，G，与(2)中的函数图像交于点 F，H。

问四边形 EFHG 能否为平行四边形？若能，求 m，n 之间的 数量关系；若不能，请说明理由。

25. 解：(1) ∵拋物线 y1=ax2 2ax b 经过 A( 1，0)，y MC(0，3 2)两点，∴a b 2a 32b0，∴a=1， 2A OPQ Bxb= 3 ，∴拋物线的解析式为 y1= 1 x2 x 3 。

222(2) 作 MN AB，垂足为 N。

由 y1= 1 x2 x 3 易得 M(1，2)，22N(1，0)，A( 1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2 2 ， MBN=45 。

根据勾股定理有 BM 2 BN 2=PM 2 PN 2。

∴(2 2 )2 22=PM2= (1 x)2… ，又 MPQ=45 = MBP，∴△MPQ~△MBP，∴PM2=MQ MB= 2 y2 2 2 … 。

2y MAQ BxO PN由 、 得 y2= 1 x2 x 5 。

∵0 x<3，∴y2 与 x 的函数关系式为 y2= 1 x2 x 52222(0 x<3)。

(3) 四边形 EFHG 可以为平行四边形，m、n 之间的数量关系是ym n=2(0 m 2，且 m 1)。

∵点 E、G 是抛物线 y1= 分别与直线 x=m，x=n 的交点，∴点 E、G 坐标为1 x2 x 322E(m， 1 m2 m 3 )，G(n， 1 n2 n 3 )。

同理，点 F、H 坐标2222FH EGx为 F(m， 1 m2 m 5 )，H(n， 1 n2 n 5 )。

O2222∴EF= 1 m2 m 5 ( 1 m2 m 3 )=m2 2m 1，GH= 1 n2 n 5 ( 1 n2 n22222223 )=n2 2n 1。

2∵四边形 EFHG 是平行四边形，EF=GH。

∴m2 2m 1=n2 2n 1，∴(m n 2)(m n)=0。

由题意知 m n，∴m n=2 (0 m 2，且 m 1)。

因此，四边形 EFHG 可以为平行四边形，m、n 之间的数量关系是 m n=2 (0 m 2，且 m 1)。

【例4】. （2009 武汉中考）如图，抛物线 y ax2 bx 4a 经过 A(1，0) 、 C(0，4) 两点，与 x 轴交于另一点 B ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 D(m，m 1) 在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接 BD ，点 P 为抛物线上一点，且 DBP 45°，求点 P 的坐标． y25．解：（1）Q 抛物线 y ax2 bx 4a 经过 A(1，0) ， C(0，4) 两点，Ca4ab44.a 0，解得a b 1， 3.A O抛物线的解析式为 y x2 3x 4 ．Bx（2）Q 点 D(m，m 1) 在抛物线上，m 1 m2 3m 4 ，y即 m2 2m 3 0 ，m 1或 m 3 ．Q 点 D 在第一象限，点 D 的坐标为 (3，4) ． 由（1）知 OA OB，CBA 45°． 设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E ． Q C(0，4) ，CD∥ AB ，且 CD 3 ， ECB DCB 45°， E 点在 y 轴上，且 CE CD 3．CE AOD BxOE 1，E(0，1) ．即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为（0，1）． （3）方法一：作 PF ⊥ AB 于 F ， DE ⊥BC 于 E ． 由（1）有： OB OC 4，OBC 45°， Q DBP 45°，CBD PBA ． Q C(0，4)，D(3，4) ，CD∥OB 且 CD 3 ．DCE CBO 45°， DE CE 3 2 ． 2yCPEA FOD BxQ OB OC 4， BC 4 2 ， BE BC CE 5 2 ， 2tan PBF tan CBD DE 3 ． BE 5设 PF 3t ，则 BF 5t ，OF 5t 4， P(5t 4，3t) ． Q P 点在抛物线上， 3t (5t 4)2 3(5t 4) 4 ，t0（舍去）或 t22 25， P 2 ，66 5 25 ．方法二：过点 D 作 BD 的垂线交直线 PB 于点 Q ，过点 D 作 DH ⊥ x 轴于 H ．过 Q 点作QG ⊥ DH 于 G ． Q PBD 45°，QD DB ． QDG BDH 90°， 又 DQG QDG 90°，DQG BDH ． △QDG ≌△DBH ，QG DH 4 ， DG BH 1．yC QPA OD GB Hx由（2）知 D(3，4) ，Q(1，3) ．Q B(4，0) ，直线 BP 的解析式为 y 3 x 12 ． 55解方程组 y y x2 3x 4， 3 x 12， 得55 x1 y1 4，x20； y2 2， 566 . 25点P的坐标为 2 5，66 25 ．【例5】. （2011 年四调）如果抛物线 C1 的顶点在抛物线 C2 上，同时，抛物线 C2 的顶点在抛 物线 C1 上，那么，我们称抛物线 C1 与 C2 关联．（1）已知抛物线①y=x2+2x﹣1，判断下列抛物线②y=﹣x2+2x+1；③y=x2+2x+1 与已知抛物 线①是否关联，并说明理由．（2）抛物线 C1：y= （x+1）2﹣2，动点 P 的坐标为（t，2），将抛物线绕点 P（t，2）旋转180°得到抛物线 C2，若抛物线 C1 与 C2 关联，求抛物线 C2 的解析式． （3）A 为抛物线 C1：y= （x+1）2﹣2 的顶点，B 为与抛物线 C1 关联的抛物线顶点，是否存在以 AB 为斜边的等腰直角△ABC，使其直角顶点 C 在 y 轴上？若存在，求出 C 点的坐标；若 不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。