《数值分析》考试试卷（A）参考答案（研 2016 级）
一、判断题（18 分） 1（），2（），3（），4（），5（），6（）
二、填空题（20 分）
1
1 2 3
1.
4， 2.
A
1
1
4 0 1
2 1 ， 3. 404.01，4. 3， 5. -2 3
三、见书 P38 例题 7，P40 例题 10.
， c1*
88 135
，
（6 分）
最佳平方逼近元素 p*(x) 10 88 x 0.37037 0.65185x, (1 x 1) ， （2 分）
27 135
4
f
,
f
1
ck*
k 0
f
,k
15 32
c0*
7 12
c1*
31 80
1.08104
.
（2 分）
八、见书 P152 定理 6.3.
（2 分）
H
3
x
(x
0.5)
a
(
x
2
2x
),
H
3
(1)
1
a
0.5.
H3 x 0.5x3 x 2 1.5x 1.
R3
x
1 4!
f
4
x
0
x
12
x
2
.
（3 分） （3 分） （2 分）
七、 f (x)
x ，0 (x) 1，1(x) x ，则 (0 ,0 )
1 dx 3 ，
1 4
（10 分）
七 、 定 义 内 积 f , g
1 1
f x g x dx ， 试 在 H1 Span1, x 中 寻 求 对 于 函 数
4
f ( x) x 的最佳平方逼近元素 p x ，并求出最佳平方逼近误差 .
（10 分）
八、证明：当 n 为偶数时，n+1 个节点的 Newton-Cotes 求积公式的代数精度至少为 n+1. （10 分）
f (x) 2x ，Newton 迭代格式为
xn1
xn
xn2 a 2 xn
1 2
( xn
a xn
),
n 0,1,
2）设 f (x) x 2 2 ，
f (1) 12 2 0 ， f (1.5) 1.52 2 0 ， x* 1,1.5，
在 1, 1.5上 f (x) 2x 0 ， f (x) 2 0 ，
4
(0 ,1) (15 32
，
(1,1
)
1
x2dx
21
，
1 4
64
( f ,0 )
1 1
4
xdx
7 12
，
(
f
,
1
)
1
x
1 4
xdx
31 80
，
法方程为
3 4 15
32
15 32 21 64
c0* c1*
7 12 31
，解得
c0*
80
10 27
A
4 3
2 2
1 2
五、写出计算 a (a 0) 的 Newton 迭代格式，用它求 2 的近似值（计算一步求出 x1 即
可），并说明收敛的理由。（12 分）
六、求一个次数不超过 3 的多项式 H3 ( x) ，满足下列插值条件：
x
012
f (x) 1
2
4
f ( x)
1
并写出其余项的表达式。
四、对 b1 (0,1)T ，计算
b1 b1 e1 (1,1)T ,u
1 (1,1)T , 2
H1
I
2uuT
0 1
1
0
,
Q
1
0
0T H1
1 0 0
0 0 1
0
1
,
0
T
QAQ
1
1
1 1
0
2 .
0
2
1
五、1）计算 a 等于求 x 2 a 0 正根，即 f (x) x2 a ，
位有效数字。
1 2 3
2.
矩阵的
A
1
4
4
Crout
分解式为
4 8 15
3.
设
A
1.01 1
1 1 ，则 cond
A
。
4. 求积公式
1 -1
f
( x)dx
1 3
f
-1
4
f
0 +f
(1)
具有
。 次代数精度。
5. 设 f (-1) 0, f (0) 1, f (1) 2 ，则过这三点的二次插值多项式中 x2 的系数为
一、判断题（对的打√，错的打×，每小题 3 分，共 18 分）
y100 0.0018
1. 1.
递推关系式 yn-1
1 5n
1 5
yn ,
n 100，99,,1 是数值稳定的。
（）
2. 列主元 Gauss 消去法可一直进行下去的充分条件是线性方程组的系数矩阵非奇异。 （）
3. 0 2 是 SOR 方法收敛的充分条件。
（）
4. 反幂法是用来计算方阵按模最小的特征值和相应的特征向量。 5. Newton 法求解非线性方程若收敛，至少具有 2 阶收敛速度。
6．区间[a, b]上带权 ( x) 的正交多项式系是唯一的。
（） （） （）
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 近似值 x 2.38 ，绝对误差限为 0.005.则该近似值有
.
三、判断分别利用 Jacobi 和 GS 迭代求解下列方程组的收敛性，并说明理由。 （10 分）
2 x1 x2 x3 -1 x1 x2 x3 0
x1 x2 2x3 2
四、利用 Householder 矩阵对下列矩阵作正交相似变换，把 A 化为拟上三角矩阵。（10 分）
1 2 0
（4 分） （4 分）
（2 分） （2 分） （3 分）
（3 分）
又由 f (x0 ) f (x) 0 ，取 x0 1.5 , 由大范围收敛定理，Newton 迭代格式收敛；（2 分）
计算一步得
x1
1 2
(x0
2 x0
)
17 12
1.4167 .
（2 分）
六、 p2 x 0.5x2 0.5x 1 ， H3 x p2 x ax x 1 (x 2) ，