MATLAB与数值分析课程总结姓名：董建伟学号：2015020904027一：MATLAB部分1.处理矩阵－容易矩阵的创建（1）直接创建注意 a中括号里可以用空格或者逗号将矩阵元素分开 b矩阵元素可以是任何MATLAB表达式，如实数复数等c可以调用赋值过的任何变量，变量名不要重复，否则会被覆盖（2）用MATLAB函数创建矩阵如：a空阵［］ b rand/randn——随机矩阵 c eye——单位矩阵 d zeros ——0矩阵 e ones——1矩阵 f magic——产生n阶幻方矩阵等向量的生成（1）用冒号生成向量（2）使用linspace和logspace分别生成线性等分向量和对数等分向量矩阵的标识和引用（1）向量标识（2）“0 1”逻辑向量或矩阵标识（3）全下标，单下标，逻辑矩阵方式引用字符串数组（1）字符串按行向量进行储存（2）所有字符串用单引号括起来（3）直接进行创建矩阵运算（1）注意与数组点乘，除与直接乘除的区别，数组为乘方对应元素的幂（2）左右除时斜杠底部靠近谁谁是分母（3）其他运算如，inv矩阵求逆，det行列式的值, eig特征值，diag 对角矩阵2.绘图－轻松plot－绘制二维曲线（1）plot(x)绘制以x为纵坐标的二维曲线plot(x,y) 绘制以x为横坐标，y为纵坐标的二维曲线x,y为向量或矩阵（2）plot（x1,y1,x2,y2，。
）绘制多条曲线，不同字母代替不同颜色:b蓝色，y黄色，r红色，g绿色（3）hold on后面的pl ot图像叠加在一起hold off解除hold on命令，plot将先冲去窗口已有图形（4）在hold后面加上figure，可以绘制多幅图形（5）subplot在同一窗口画多个子图三维图形的绘制(1)plot3(x,y,z,’s’) s是指定线型，色彩，数据点形的字符串(2)［X,Y］＝meshgrid(x,y)生成平面网格点(3)mesh(x,y,z，c)生成三维网格点，c为颜色矩阵(4)三维表面处理mesh命令对网格着色，surf对网格片着色(5)contour绘制二维等高线(6)axis(［x1,xu,y1,yu］)定义x,y的显示范围3．编程－简洁（1）变量命名时可以由字母，数字，下划线，但是不得包含空格和标点（2）最常用的数据类型只有双精度型和字符型，其他数据类型只在特殊条件下使用（3）为得到高效代码，尽量提高代码的向量化程度，避免使用循环结构（4）为得到最快的运行速度，在循环指令前尽量对数组进行预定义（5）流程控制语句如a break命令可以使包含break的最内层的for或while语句强制终止，跳出循环结构，执行end后面的语句。
Break一般与if结构结合使用。
b continue命令用于结束本次for或while循环，只结束本次循环而进行下次循环。
c pause 命令用来使程序运行暂停，等待用户按任意键继续。
但是pause(n)表示暂停n秒等4．常见字符含义（1）disp和fprintf表示函数输出（2）eps机器的精度（3）inf零做了除数的输出（4）NAN零被零除的输出（5）int积分（6）diff微分（7）taglor泰勒展开（8）syms声明符号变量等二：数值分析部分基本概念1.误差与有效数字误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定义及相互关系；误差的来源和误差的基本特性；误差的计算（估计）的基本方法。
2.算法的适定性问题数值分析中的病态和不稳定性问题；病态问题和不稳定算法的实例分析。
3. 数值计算的几个注意问题数值计算的基本概念● 误差概念和分析误差的定义：设x 是精确值，p 是近似值，则定义两者之差是绝对误差: a x p ∆=-由于精确值一般是未知的,因而Δ不能求出来,但可以根据测量误差或计算情况估计它的上限|-|x p εε<称为绝对误差限。
相对误差定义为绝对误差与精确值之比ar x∆∆=ar xη∆∆=<称为相对误差限● 误差的来源：舍入误差将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法称为舍入方法。
带来舍人误差。
截断误差用数值法求解数学模型时，往往用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差。
● 有效数字对于a=a0 a1 … am . am+1 … am+n(a0≠0)的近似数， 若|Δ|≤0.5x10-n ，则称a 为具有m+n+1位有效数字的有效数，其中每一位数字都叫做a 的有效数字。
有效数和可靠数的最末位数字称为可疑数字有效数位的多少直接影响到近似值的绝对误差与相对误差的大小。
推论1 对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位。
推论2 对于给出的一个有效数，其相对误差限可估计如下：数值计算的算法问题“良态”问题和“病态”问题在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化δX ，对应的参数误差δy 也很小，则称该数学问题是良态问题；若δy 很大，则称为病态问题。
病态问题中解对于数据的变化率都很大，因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化。
数学问题的性态完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方法无关。
稳定算法和不稳定算法如果用数值方法计算时,误差在计算过程中不扩散的算法称为稳定算法。
否则称为不稳定算法。
120.10mn x a a a =±⨯1102m nx x *-∆=-≤⨯120.10mn x a a a =±⨯15()10nr x a -∆≤⨯数值计算应注意的问题避免相近二数相减； 避免小分母； 避免大数吃小数； 选用稳定的算法。
绝对误差的运算：)()()(2121x x x x εεε+=±)()()(122121x x x x x x εεε+≈22122121+=x x x x x x x )()()(εεε (f(x))()(x)f x εε'≈线性方程组求解的数值方法：高斯消元法（1）性质1：若A 的所有顺序主子式均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。
（2）性质2：只要 A 非奇异，即 A -1存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解（3）列主元消去法：如果对角线元素为0，则需要交换元素。
列主元消去法值选择该列 k~n 元素中最大值。
（4）全主元消去法在第k 步消去前， 在系数矩阵右下角的n-k+1阶主子阵中，选绝对值最大的元素作为主元素矩阵分解矩阵LU 分解的一般计算公式； 利用LU 分解的线性方程组求解方法； Cholesky 分解；Matlab 的Cholesky 分解函数。
向量范数与矩阵范数向量范数及其性质； 矩阵函数及其性质； 常用范数形式。
线性方程组的迭代法求解迭代求解的思路； Jacobi 迭代法； 高斯_赛德尔迭代法； 迭代法的收敛性。
方程组的病态问题与误差分析线性方程组解的误差分析； 条件数和方程组的病态性。
消元法：问题：消去法是按照系数矩阵的主对角线上的元素（主元）进行消元。
从而可能出现：（1）某个主元为零，导致消元过程无法进行。
（2）当某个主元的绝对值很小时，计算结果误差很大。
全主元消去法每一步选绝对值最大的元素为主元素。
列主元消去法省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
矩阵三角分解法,||max ||0;k k i j ij k i j na a ≤≤=≠,||max ||0k i k ik k i na a ≤≤=≠三角矩阵的性质：1. 上（下）三角方阵的行列式的值等于对角线元素的乘积；2. 上（下）三角方阵的转置为下（上）三角矩阵；3. 上（下）三角方阵的逆矩阵为上（下）三角矩阵，且对角元是原三角矩阵对角元的倒数；4. 两个上（下）三角方阵的乘积也是上（下）三角矩阵，且对角元是原三角矩阵对角元的乘积。
计算公式：11121n21222n 313212(1)nn ( 111U 1n n n n Gauss LU A LU L u uu l uul l l ll u -=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由消去法加上列主元或全主元）有分解：11i1111, j 1, ,n , i 2,, njji u a l a ====k-1kj km m 1k-1ik im kk m 12, 3,, j k ,, n( )/ i k 1 ,, nkj mj ik mk k n u a l u l a l u u ====-==-=+∑∑对计算11a 12a 13a 14a 21a 22a 23a 24a 31a 32a 33a 34a 41a42a43a44aéëêêêêêêùûúúúúúú=100021l 10031l 32l 1041l 42l43l1éëêêêêêêùûúúúúúú11u 12u13u 14u 022u23u 44u 0033u 34u 00044uéëêêêêêêùûúúúúúú=11u 12u 13u 14u 21l 11u 21l 12u +22u 21l 13u +23u 21l 14u +24u 31l 11u 31l 12u +32l 22u 31l 13u +32l 23u +33u 31l 14u +32l 24u +34u 41l 11u 41l 12u +42l 22u41l 13u +42l 23u +43l 33u41l 14u +42l 24u +43l 34u +44uéëêêêêêêùûúúúúúú·®·®·®·®·®·®·按颜色顺序依次计算不是所有矩阵都可分解为A=LU ，更一般形式PA=LUMATLAB 中lu 为LU 分解函数，调用方式：[L,U,P] = lu(A)Cholesky 分解：定理：设矩阵A 对称正定，则存在非奇异下三角阵L 使得T A LL 。