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曲线的参数方程和与普通方程的互化


例1 如图,已知点P是圆O:x2+y2=4上的一个动点 ,点A(6,0).
当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹方程, 并说明点M的轨迹图形是什么?
解: 取xOP , 则圆的参数方程为:
x 2 cos , (为参数) y 2 sin . 设点M的坐标为(x, y),则点P的坐标
的实质是三角代换.
抛物线的参数方程
y
M(x,y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 , (t为参数,t R
1 其中参数t= ( 0),当 =0时,t=0. tan 几何意义为: 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程y=2x-4 (x≥0)。
注意:
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范 围保持一致。否则,互化就是不等价的.
例3、把下列参数方程化为普通方程, 并说明它们各表示什么曲线?
x= t 1 (1) (t为参数) y 1 2 t
步骤:(1)消参; (2)注意取值范围。
(3)
y=t2+1/t2
(1)(x-2)2+y2=9 (2)y=1- 2x2(- 1≤x≤1) (3)x2- y=2(X≥2或x≤- 2)
(2)普通方程化为参数方程需要引入参数。
如:①直线L 的普通方程是2x-y+2=0,可以化为参数方程
x t, (t为参数) y 2t 2.

为(2 cos ,2 sin ) ,由中点公式可得:
x 2 cos 6 2 sin cos 3, y sin 2 2
所以,点M的轨迹的参数方程是
x cos 3, (为参数) 它表示(3,0)为圆心,1为半径的圆 y sin .
注意:轨迹是指点运动所成的图形; 轨迹方程是指表示动点所成图形所满足的代数等式。
x2 y2 1 上的一个动点 ,点B(6,2). 变式 P是椭圆: 16 4
当点P在椭圆上运动时,求线段PB中点M的轨迹参数方程,
解: 椭圆的参数方程为:
x 4 cos , (为参数) y 2 sin . 设点M的坐标为(x, y),则点P的坐标
为(4 cos ,2 sin ) ,由中点公式可得:
x 4 cos 6 2 sin 2 2 cos 3, y sin 1 2 2
所以,点M的轨迹的参数方程是
x 2 cos 3, (为参数) y sin 1.
它所表示的图形是以(3,1)为中心的椭圆。
3 1 2 2 sin( ) 4 当 sin( ) 1时, ( x y ) min 3 1 2 2
4

说明:本例说明了圆的参数方程在求最值时的应用;
x y 变式:M是椭圆 1上一点, 9 4 求M到直线x+2y-10=0的最小距离。
2
2
双曲线的参数方程
中心在C ( x0 , y0 )的椭圆的 x x0 a cos 参数方程是 y y0 b sin
圆的参数方程
x =a+rcosθ y =b+rsinθ
椭圆的参数方程:
(θ为参数)
x a cos (为参数) y b sin
应用:(1)参数方程可以用来求轨迹问题. (2)参数方程可以用来求最值.
第二讲
参 数 方 程
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
(1)在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x 、y都是某个变数t的函数,即
x f (t ) y g (t )
叫做曲线的参数方程 ,t为参数。
(2) 相对于参数方程来说,直接给出点的坐标关 系的方程叫做曲线的普通方程。
y x 根据三角函数的定义得 sin ,cos . r r

x r cos , y r sin .
(1)
P(r cos , r sin ).
我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。 其中参数θ表示OP0到OP所成旋转角, 0 2 。
x 3t 例1、已知曲线C的参数方程是 ( t 为参数) 2 y 2 t 1 ()判断点 1 M 1 (0, 1), M( 2 5, 4)与曲线C的位置关系;
(2)已知点M( 3 6,a )在曲线上,求a的值。
2、圆的参数方程
探求:圆的参数方程
如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x 轴正半轴的交 点为P0 ,圆上任取一点P,若OP0 按逆时针方向旋转到OP位置 所形成的角∠P0 OP =θ ,求P点的坐标。 解: 设P(x,y), ∵点P在∠P0OP的终边上,
圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为
x =a+rcosθ y =b+rsinθ
(θ为参数)
1.写出下列圆的参数方程: x = 3cosθ
y = 3sinθ (1)圆心在原点,半径为 3:______________;
x =-2+cosθ (2)圆心为(-2,-3),半径为1: ______________. y =-3+sinθ x =5cosθ+1 2.若圆的参数方程为 , 则其标准 y =5sinθ-1 方程为:_________________. (x-1)2+(y+1)2=25 3.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的 x =1+2cosθ 参数方程为_______________. y =-3+2sinθ
x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b x a sec (为参数) y b tan
说明:
双曲线的参数方程可以由方程
sec2 1 tan 2 相比较而得到,所以双曲线的参数方程
x2 y 2 2 1 与三角恒等式 2 a b
1、曲线的参数方程;

(θ为参数)
2、圆的参数方程; x =a+rcosθ y =b+rsinθ
3、曲线的参数方程与普通方程的互化:
引入参数 普通方程 消去参数 参数方程
第二讲
参 数 方 程
二、圆锥曲线的参数方程
圆的参数方程
x2+y2=r2
x r cos ( 为参数) y r sin
例2 已知点P(x,y)是圆 x2 y 2 2x 2
x+y的最小值。
3 y 0 上的一个动点,求:
解:圆x 2 y 2 2 x 2 3 y 0可化为 (x 1) 2 ( y 3 ) 2 4 x 1 2 cos , 其参数方程为 (为参数) y 3 2 sin . 则P( 1 2 cos,3 2 sin ) x y 1 2 cos 3 2 sin
2、曲线y=x2的一种参数方程是(D).
2 x t x t x sin t x t A、 C、 D、 4 B、 2 2 y sin t y t y t y t
分析: 在y=x2中,x∈R, y≥0,在A、B、C中,x,y的范围都
2 2
( x a ) ( y b) r
2
x a r cos ( 为参数) y b r sin
指出下列参数方程表示什么曲线: x 1 4 cos t ( 1) (t为参数) y 2 4sin t
x 5cos t (2) (t为参数) y 3sin t
x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y
发生了变化,因而与 y=x2不等价; 而在D中,
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同,
x t 且以 2 y t
代入y=x2后满足该方程,从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意: 在参数方程与普通方程的互化中,必须 使x,y的取值范围保持一致。否则,互化就是 不等价的.

为参数。
x 3 1 t2 x -3 1 t 2 (2)参数方程是 和 y 2t y 2t
练习 1.化下列参数方程为普通 方程 x t 1 ( 1 ) y 1 2 t x sin t (3) 2 y sin t 1 x t (5) t y 2 x t (2) 2 y t 1 t t x (e e ) 2 (4) y 1 (e t e t ) 2
x 1 3 cos (3) ( 为参数) y 2 5 sin
椭圆的参数方程:
x y x轴: 1 , 2 2 a b x y y轴: 1, 2 2 b a
2 2
2
2
x a cos y b sin x b cos y a sin
x=3t+2, (2)参数方程 y=t-1 (t 为参数)
x= sin cos (3) ( 为参数). y 1 sin 2
例、将下列参数方程化为普通方程:
(1)
x 2 3 cos y 3 sin
x=t+1/t
(2)
x sin y cos 2
②在普通方程x2+y2=1中,令x = cos,可以化为参数方程
x cos , (为参数) y sin .
x y 1的参数方程。 例4 求椭圆 9 4
2
2
(1)设x=3cos,为参数;
(2)设y=2t,t为参数.
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