第十三讲 刚体的运动学与动力学问题一 竞赛内容提要 1、刚体；2、刚体的平动和转动；3、刚体的角速度和角加速度；4、刚体的转动惯量和转动动能；5、质点、质点系和刚体的角动量；6、转动定理和角动量定理；7、角动量守恒定律。

二 竞赛扩充的内容1、刚体：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体。

刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动，刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。

2、刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行，刚体上任意两点运动的位移、速度和加速度始终相同。

3、刚体绕定轴的转动；刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动，刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动，各点做圆周运动的角位移Φ、角速度ω和角加速度β相同（可与运动学的s 、v 、a 进行类比）。

且有：ω=t t ∆∆Φ→∆lim 0；β=t t ∆∆→∆ωlim0。

当β为常量时，刚体做匀加速转动，类似于匀加速运动，此时有：ω=ω0+βt ； Φ=Φ0+ω0t+βt 2/2；ω2－ω02=2β（Φ－Φ0）。

式中，Φ0、ω0分别是初始时刻的角位移和角速度。

对于绕定轴运动的刚体上某点的运动情况，有：v=ωR ， a τ=βR ， a n =ω2R=v 2/R, 式中，R 是该点到轴的距离，a τ、a n 分别是切向加速度和法向加速度。

例1 有一车轮绕轮心以角速度ω匀速转动，轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度v 0、加速度a 作匀加速爬行，求小虫运动的轨迹方程。

例2 一飞轮作定轴转动，其转过的角度θ和时间t 的关系式为：θ=at+bt 2－ct 3，式中，a 、b 、c 都是恒量，试求飞轮角加速度的表示式及距转轴r 处的切向加速度和法向加速度。

例3 如图所示，顶杆AB 可在竖直槽K 内滑动，其下端由凸轮K 推动，凸轮绕O 轴以匀角速度ω转动，在图示瞬间，OA=r ，凸轮轮缘与A 接触处，法线n 与OA 之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆OA 的速度。

例 4 人在电影屏幕上看到汽车向前行驶，车轮似乎并没有转动时，则汽车运动的可能的最小速度是多少？已知电影每秒钟放映24个画面，车轮半径为0.5m.例5 在水平路面上匀速行驶的拖拉机前轮直径为0.8m ，后轮直径为1.25m ，两轮的轴的距离为2m ，如图所示，在行驶过程中，从前轮边缘的最高点A 处水平飞出一小石块，0.2s 后后轮边缘的最高点B 处也水平飞出一小石块，这两块石块先后落在地面上同一处，求拖拉机行驶时速度的大小。

例6如图所示，由两个圆球所组成的滚珠轴承内环半径为R 2，外环半径为R 1，在两环之间分布的小球半径为r 。

外环以线速度v 1顺时针方向转动，而内环则以线速度v 2顺时针方向转动，试求小球中心在围绕圆环的中心顺时针转动的线速度v 和小球自转的角速度ω。

设小球与圆环间无滑动。

例7一木板从空中下落，某时刻，板上a 、b 两点速度相同，v a =v b =v ，a 、b 两点均位于板面上，同时还发现板上c 点速度为2v ，c 点到a 和b 两点的距离等于a 和b 两点间的距离。

问板上那些点的速度等于3v ？4、力矩 （1）对转动轴的力矩 如图，转动轴过O 点并垂直于纸面，过P 点的力F 对O 轴的力矩M=Fr 。

其中，r 为力臂。

∵r=ρsin θ，∴M=Fsin θ·ρ。

即，F 对轴O 的力矩，等于F 垂直于OP 连线的分力F φ与OP 的积：M=F φ·ρ。

当力的作用线不在垂直于轴的直线上时，可将力F 分解为平行于轴的分量F ∥和垂直于轴的分量F ⊥，其中，F ∥对物体绕轴的转动没有贡献，F ⊥就是F 在垂直于轴的平面上的投影，此时，F 对轴的力矩可写成：M= F ⊥·ρsin θ。

F ρ（2）对参考点的力矩 如图，F 对O 点的力矩M=Fsin θ·ρ。

5、质点的角动量如右下图，质点m 对 点O 的角动量L=r×p=r·psin θ=mv·r·sin θ，角动量又叫做动量矩（与力矩类比）。

同一质点对不同的参考点的角动量是不同的。

特别地，当p ⊥r 时，角动量L=mvr 。

6、质点系（或刚体）的角动量即各质点角动量的总和，L=∑m i v i r i =（∑m i r i 2）ω=I ω。

其中，I 是刚体的转动惯量（I 的数值不要求会计算）。

质点对轴的转动惯量为：I=mr 2，r 是转动半径。

7、刚体的转动动能 刚体的动能包括质心的平动动能（E K =mv 2/2）和相对质心的转动动能，其中，转动动能的大小： E k =∑m i v i 2/2=1/2（∑m i r i 2）ω2=（1/2）I ω2。

8、刚体绕定轴转动的基本规律（1）力矩M 和角加速度β的关系 M=I β（类比于F=ma ）；（2）合力矩做的功和刚体转动动能的关系 W=F ·S=F ·r θ=M θ=（1/2）I ωt 2－（1/2）I ω02.（与动能定理类比）。

（2）质点、质点系或刚体的角动量定理L=∑m i v i r i （若是质点则不用∑符号），∴⊿L/⊿t=∑⊿L/⊿t=∑（F i ＋f i ）r i ，式中，F i 表示第i 个质点受到的外力，f i 表示该质点受到的系统内力。

∵内力矩为零，∴⊿L/⊿t=∑F i r i =M 外，即M 外⊿t=L t －L 0（与动量定理类比）。

角动量定理可写成分量式。

（3）质点、质点系或刚体的角动量守恒定律 当M 外=0时，L=恒量（与动量守恒类比），即系统的角动量守恒。

其中，M 外=0有以下三种情况：（i ）体系不受外力，即F i =0（合外力为零≠合力矩为零，如力偶矩的情况）；（ii ）所有外力都通过定点（这种外力叫有心力，如卫星所受的万有引力），尽管外力的矢量和不为零，但每个外力的力矩都为零；（iii ）每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。

例8、质量为m ，长为l 的均质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度ω转动时，它的动能和相对端点的角动量的大小分别为E k =I ω2/2，L=I ω,其中，I=ml 2/3，现将此杆从水平位置由静止释放，设此杆能绕着过A 的固定光滑细轴摆下，当摆角从0达θ时，试求：（1）细杆转动的角速度ω和角加速度β；（2）固定光滑细轴为杆提供的支持力。

例9、质量为M ，半径为R 的均质圆盘，绕过圆心且与圆盘垂直的轴以角速度ω旋转时的角动量大小为L=I ω，其中，I=MR 2/2，如图，细绳质量可忽略，绳与圆盘间无相对滑动，滑轮与轴之间无摩擦，m 1＞m 2，试求物体运动的加速度。

F ρθAm ，l例10、在光滑的水平面上，两个质量分别为m 1和m 2的小球，用长为l 的轻线连接，开始时，线正好拉直，m 1和m 2的速度分别为v 1和v 2（v 1＞v 2），它们的方向相同，并垂直于连线，试求： 系统相对质心的角动量为多大？（2）线中的张力为多大？例11、如图所示，在光滑水平面上，质量均为M 的两小球用长为l 的轻杆相连，另一质量为m 的小球以v 0的速率向着与杆成θ角的方向运动，若（1）碰后m 以v 0/2的速率沿原路线反弹，试求碰后轻杆系统绕其质心转动的角速度ω。

（2）若M=m ，且θ=45°，小球m 以某一速率v 0与杆上一球发生弹性碰撞后，沿垂直于原速度的方向运动，如图虚线箭头所示方向，求碰后小球的速度及轻杆绕其质心转动的角速度。

例12、一质量m=1 .40×104kg 的登陆飞船，在离月球表面高度h=100km 处绕月球做圆周运动，飞船采用如下登月方式：当飞船位于图中A 点时，它向外侧（即沿OA 方向）短时间喷气，使飞船与月球相切地到达B 点，且OA ⊥OB ，试求飞船到达月球表面时的速度。

已知月球半径R=1700km ，月球表面的重力加速度为g=1.62m/s 2。

例13、如图，一长为L ，质量为m 的均质棒被两根细线水平悬挂在天花板上，某时刻，右边的线断了，问线断瞬间，左边线中的张力是多大？已知棒绕其一端的转动惯量I=ml 2/3。

例14、一颗卫星沿椭圆轨道绕地球运行，在近地点，卫星与地球中心的距离为地球半径的3倍，卫星的速度为在远地点时速度的4倍，求在远地点时卫星与地球中心的距离为地球半径的多少倍。

例15、两个质量均为m 的小球，用长为l 的绳子连接起来，放在一光滑的水平桌面上，给其中一个小球以垂直于绳子方向的速度v 0，如图所示，求此系统的运动规律和绳中的张力大小。

例16、小滑块A 位于光滑的水平桌面上，小滑块B 位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量都是m ，并用长为l 、不可伸长的、无弹性的轻绳相连，如图所示，开始时，A 、B 间的距离为l/2，A 、B 间的连线与小槽垂直，今给滑块A 一冲击，使其获得平行于槽的速度v 0，求滑块B 开始运动时的速度。

例17、如图所示，质量均为m 的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑水平桌面上弹簧原长为a ，劲度系数为k 。

今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b=2a ，求两球的初速度v 0。

例18、在半顶角为α的圆锥面内壁离锥顶h 高处以一定初速度沿内壁水平射出一质量为m 的小球，设锥面内壁是光滑的。

（1）为使小球在h 处的水平面上做匀速圆周运动，则初速v 0为多少？（2）若初速v 1=2v 0，求小球在运动过程中的最大高度和最小高度。

例19、（1）质量为m 的人造地球卫星作半径为r 0的圆轨道飞行，地球质量为M ，试求卫星的总机械能；（2）若卫星运动中受到微弱的磨擦阻力f （常量），则将缓慢地沿一螺旋轨道接近地球，因f 很小，轨道半径变化非常缓慢，每周的旋转都可近似处理成半径为r 的圆轨道运动，但r 将逐周缩短，试求在r 轨道上旋转一周，r 的改变量⊿r 及卫星动能E K 的改变量⊿E K 。

例20、图中a 为一固定放置的半径为R 的均匀带电球体，O 为其球心，已知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000V 。

在离球心O 很远的O ′点附近有一质子b ，它以E K =2000eV 的动能沿与O ′O 平行的方向射向a ，以L 表示b 与O ′O 线间的垂直距离。

要使质子b 能够与带电球体a 的表面相碰，试求L 的最大值。

把质子换成电子，再求L 的最大值。

例21、由火箭将一颗人造卫星送入离地面很近的轨道，进入轨道时，卫星的速度方向平行于地面，其大小为在地面附近做圆运动的速度的2/3倍，试求该卫星在运行中与地球中心的最远距离。

O例22，如图所示，在水平光滑平面上开有一个小孔，一条绳穿过小孔，其两端各系一质量为m 的物体，桌上的物体则以v 0=2230gr 的速率做半径为r 0（即桌上部分的绳长）的匀速圆周运动，然后放手，求以后的运动中桌上部分绳索的最大长度和最小长度。