圆形磁场区域问题延伸
1．在xOy 平面内有许多电子(质量为m ，电荷量为e )从坐标原点O 不断以相同大小的速度v 0沿不同的方向射入第一象限，如图所示．现加上一个垂直于xOy 平面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x 轴向x 轴正方向运动，试求出符合条件的磁场的最小面积．
解析：所有电子在所求的匀强磁场中均做匀速圆周运动，
由e v 0B ＝m v 20
R ，得半径为R ＝m v 0eB
.
设与x 轴正向成α 角入射的电子从坐标为(x ，y )的P 点射出磁场，
则有 x 2＋(R －y )2＝R 2 ① ①式即为电子离开磁场的下边界b 的表达式，当α＝90°时，电子的运动轨迹为磁场的上边界a ，其表达式为：
(R －x )2＋y 2＝R 2 ②
由①②式所确定的面积就是磁场的最小范围，如图所示，其面积为
S ＝2⎝⎛⎭⎫πR 2
4－R 2
2＝π－22⎝⎛⎭⎫m v 0eB 2
.
【分析】电子在磁场中运动轨迹是圆弧，且不同方向射出的电子的圆形轨迹的半径相同(r=mv0/Be).假如磁场区域足够大，画出所有可能的轨迹如图3-6所示，其中圆O1和圆O2为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆，若要使电子飞出磁场时平行于x 轴，这些圆的最高点应是区域的下边界，可由几何知识证明，此下边界为一段圆弧将这些圆心连线(图中虚线O1O2)向上平移一段长度为r=mv0eB 的距离即图3-7中的弧ocb 就是这些圆的最高点的连线， 应是磁场区域的下边界.；圆O2的y 轴正方向的半个圆应是磁场的上边界，两边界之间图形的面积即为所求
图3-7中的阴影区域面积，即为磁场区域面积
S=
【解题回顾】数学方法与物理知识相结合是解决物理问题的一种有效途径.本题还可以用下述方法求出下边界.设P(x,y)为磁场下边界上的一点，经过该点的电子初速度与x 轴夹角为，则由图3-8可知：x=rsin θ, y=r-rcos θ 得: x2+(y-r)2=r2
所以磁场区域的下边界也是半径为r ，圆心为(0,r)的圆弧
222
2022
(1)12()422m v r r e B ππ--
=
2．如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为a 的圆形区域，圆心坐标为O 1（0，a ），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场。
在直线y = a 的上方和直线x = 2a 的左侧区域内，以速度v 从O 点垂直于磁场方向射入，当速度方向沿x 轴正方向时，粒子恰好从O 1点正上方A 点射出磁场，不计粒子重力。
（1）求磁感应强度B 的大小； （2）若粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向射入第一象限，当速度方向与x 轴正方向的夹角θ = 30︒时，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间t 。
解析：
（1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为R
qvB = R
v m 2
2 分
粒子自A 点射出，由几何知识 R = a 解得 B = qa m v
（2）粒子在磁场中做圆周运动的周期 T =
v
a
π2 粒子从磁场中的P 点射出，因磁场区域圆和粒子轨迹圆周的半径相等，OO 1PO 2构成菱形，故粒子从P 点的出射方向与y 轴平行，粒子由O 到P 所对应的圆心角为θ1 = 60︒，由几何知识可知，粒子由P 点到x 轴的距离 S = a cos θ 2 分 粒子在电场中做匀变速运动，在电场中运动的时间 t 1 = qE m v 2
粒子由P 点第2次进入磁场，由Q 点射出，构成菱形，由几何知识可知Q 点在x 轴上，粒子由P 到Q 所对应的圆心角为θ2 = 120︒，则θ1 + θ2 = 180︒ 粒子先后在磁场中运动的总时间 t 2 =
2
T 粒子在场区之间做匀速直线运动的时间 t 3 =
()v
S a -2
解得粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间 t = t 1+ t 2 + t 3 = v a )32(-+π+qE
m v 2
y
O 2
y
3.（22分）（09zj ）如图所示，x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上。
在xOy 平面内有与y 轴平行的匀强电场，在半径为R 的圆内还有与xOy 平面垂直的匀强磁场。
在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x 轴正方向发射出一束具有相同质量m 、电荷量q （q >0）和初速度v 的带电微粒。
发射时，这束带电微粒分布
在0<y <2R 的区间内。
已知重力加速度大小为g 。
（1）从A 点射出的带电微粒平行于x 轴从C 点进入有磁场区域，并从坐标原点O 沿y 轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向。
（2）请指出这束带电微粒与x 轴相交的区域，并说明理由。
（3）若这束带电微粒初速度变为2v ，那么它们
与x 轴相交的区域又在哪里？并说明理由。
【解 析】本题考查带电粒子在复合场中的运动。
（1）带电粒子平行于x 轴从C 点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡。
设电场强度大小为E ，由
qE mg =
可得
q
m g
E =
方向沿y 轴正方向。
带电微粒进入磁场后，将做圆周运动，且 r = R
如图（a ）所示，设磁感应强度大小为B 。
由 R
mv qvB 2
=
得 qR
m v B =
方向垂直于纸面向外
（2）这束带电微粒都通过坐标原点。
方法一：从任一点P 水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q 点，如图b 所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图b 的虚线半圆，此半圆的圆心是坐标原点。
所以，这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场
带
电
粒
子发射
装置
的。
方法二：从任一点P 水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动。
如图b 示，高P 点与O ′点的连线与y 轴的夹角为θ，其圆心Q 的坐标为（–R sinθ，R cosθ）,圆周运动轨迹方程为
()()222cos sin R R y R x =-++θθ
而磁场边界是圆心坐标为（0，R ）的圆周，其方程为 x 2 + (y – R )2 = R 2
解上述两式，可得带电微粒做圆周运动的轨迹与磁场边界的交点为 x =0 x = -R sin θ
y =0 或 y =R (1+cos θ) 坐标为（–R sinθ，R (1+cos θ)）的点就是P 点，须舍去，由此可见，这速带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的。
（3）这束带电微粒与x 轴相交的区域是x >0
理由说明如下：
带电微粒的初速度大小为2v ，则从任意一点P 水平进入磁场的带电微粒在磁场中做圆周运动的半径r' = 2R 。
带电微粒在磁场中经过一段半径为r ′的圆弧运动后，将在y 同的右方(x >0)的区域离开磁场并
做匀速直线运动，如图c 所示。
靠近M 点发射出
来的带电微粒在突出磁场后会射向x 轴正方向的无穷远处，靠近N 点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。
所以，这束带电微粒与x 同相交的区域范围是x >0.
带电粒
子
发射装置。