对流扩散方程有限差分方法求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。

3.1 中心差分格式时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[21111122h u u u vhu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-+++-=-+-τ（3）若令 haτλ=，2h vτμ=，则（3）式可改写为)2()(2111111nj n j n j n j n j n j n ju u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4）从上式我们看到，在新的时间层1+n 上只包含了一个未知量1+n j u ，它可以由时间层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。

因此，中心差分格式是求解对流扩散方程的显示格式。

假定),(t x u 是定解问题的充分光滑的解，将1+n j u ，n j u 1+，n j u 1-分别在),(n j t x 处进行Taylor 展开：)(),(),(211ττO t u t x u t x u u njn j n j n j+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++)(2),(),(322211h O x u h x u h t x u t x u u nj nj n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++)(2),(),(322211h O x u h x u h t x u t x u u njnj n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-==--代入(4)式，有 21111122),(hu u u vhu u au u t x T nj n j n j nj n j n jn j n j -+-+++---+-=τ)()()(2222h O v x u v h O a x u a O t u nj nj nj ⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u njnj nj ⋅-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ)(2h O +=τ显然，当0→τ，0→h 时，0),(→n j t x T ，即中心差分格式与定解问题是相容的。

由以上的讨论也可得知，对流扩散方程的中心差分格式的截断误差为)(2h O +τ。

对于我们上面构造的差分格式，是否可以直接用于实际计算呢？也就是说，如果初始值有误差，在计算过程中误差会不会扩大传播呢？这就是接下来我们要讨论的是差分方程的稳定性问题。

下面用Fourier 方法来分析中心差分格式的稳定性。

令ikjh n nje v u =，代入到（4）式)2()(21)1()1()1()1(1h j ik n ikjh n h j ik n h j ik n h j ik n ikjhn ikjhn e v e v e v e v e v ev ev -+-+++-+--=μλ整理得 n n v kh i kh v]sin )cos 1(21[1λμ---=+所以该差分格式的增长因子为：kh i kh k G sin )cos 1(21),(λμτ---= 其模的平方为222)(sin )]cos 1(21[),(kh kh k G λμτ---=2222)(s i n )c o s 1(4)c o s 1(41kh kh kh λμμ+-+--= )]cos 1()cos 1(44)[cos 1(122kh kh kh +-----=λμμ 由于0cos 1≥-kh ，所以1),(≤k G τ（即差分格式稳定）的充分条件为 0)c o s 1()c o s 1(4422≥+---kh kh λμμ 上式可以改写为0242c o s 1)82(222≥-+--λμμλkh注意到]1,0[)cos 1(21∈-kh ，所以上面不等式满足的条件为024)82(222≥-+-λμμλ， 0242≥-λμ。

由此得到差分格式（3）的稳定性限制为22av≤τ ， 212≤h v τ。

故有结论：对流扩散方程的中心差分格式是条件稳定的。

根据Lax 等价定理，我们可以知道，对流扩散方程的中心差分格式是条件收敛的。

3.2 Samarskii 格式设a >0，先对方程(1)作扰动，得到另一个对流扩散方程]7[2211x u v R x u a t u ∂∂+=∂∂+∂∂ （5） 其中 ha vR 21=，当0→h 时，（5）式化为（1）式 对于（5）式，构造迎风格式21111211hu u u v R hu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-++-+=-+-τ（6） 差分格式（6）称为逼近对流扩散方程的Samarskii 格式。

首先推导（6）的截断误差。

设),(t x u 是对流扩散方程（1）式的充分光滑的解21111),(),(2),(11),(),(),(),(h t x u t x u t x u v R ht x u t x u at x u t x u T n j n j n j n j n j n j n j n j -+-++-+--+-=τ令2111),(),(2),(),(),(h t x u t x u t x u vt x u t x u n j n j n j n j n j nj-+++---=τα用 Taylor 级数展开有)()()(222h O xu v t u n j n j nj++∂∂-∂∂=τα再令 2111),(),(2),()111(),(),(h t x u t x u t x u v R h t x u t x u an j n j n j n j n j n j-+-+--+--=β 用 Taylor 级数展开有)()(11)(2)(22222h O xu v R x u ah t u a nj n j n j nj+∂∂++∂∂-∂∂=β )()(1)()(22222h O x uv R R x u Rv x u a n j n j +∂∂++∂∂-∂∂= )()(1)(2222h O xu v R R x u a nj n j +∂∂+-∂∂=由于)()24()21(4122222222h O v h av ah vha va h RR =+=+=+所以 )()(2h O xu a nj n j +∂∂=β )()()()(222h O xu v x u a t u T nj n j n j n jnjnj++∂∂-∂∂+∂∂=+=τβα)(2h O +=τ当0→τ，0→h 时，0→n j T ，所以Samarskii 格式与定解问题是相容的，并且其截断误差为)(2h O +τ。

现在看看Samarskii 格式的稳定性。

将（6）式两边同时加上)2(211nj n j n j u u u ha -++-，把（6）式化为 2111112)21(2h u u u ah R v hu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-+++-++=-+-τ令 21ahR v v ++=，则上式即为： 21111122hu u u vhu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-+++-=-+-τ根据中心显示格式稳定性的讨论，可以得到（6）式的稳定性条件为 212≤h v τ ，22av≤τ即21)21(2≤++h ah R v v τ ， )21(22ahR v a ++≤τ 稳定性的第二个条件等价于1)1(22≤++ahR a v τ而 v R ah v R ah h R v v R ah v R a ah R a v 2)1(1)2)1((122)1(12)1()1(22222+++⋅+=+++⋅=++τττ 利用不等式v R ah vR ah v R ah 2)1(12)1(1)2)1((2++≤+++ 所以222)211(2)2)1(1(12)1(2hv ah R v v R ah h R v ahR a v τττ++=++⋅+≤++ 利用稳定性的第一个条件，有1212)1(22=⋅≤++ahR a v τ，从而可知稳定性条件的第二个条件可由第一个条件推出，因此差分格式的稳定性条件为21)211(2≤++h v ah R v τ， 即 212/122≤⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++hv ah v ah τ。

由Lax 等价定理可知，Samarskii 格式也是条件收敛的。

3.3 Crank-Nicolson 型隐式差分格式前面讨论了求解对流扩散方程的两种显示格式，它们都是条件稳定的，为了放松稳定性条件，可以采用隐式格式进行求解。

现在考虑Crank-Nicolson 型隐式差分格式]8[)22(21111111hu u h u u a u u n j n j n j n j n jn j +-++-++-+-+-τ)22(2211111211hu u u h u u u v n j n j n j n j n j n j +-+++-++-++-= （7） 令h a τλ=，2hv τμ=，则（7）式可化为 11111)2()1(4)2(++++--++++-n j n j n j u u u μλμμλn j n j n j u u u 11)2()1(4)2(+-+-+-++=μλμμλ （8）把（8）式用矩阵的形式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--++--++--+)1(4)2(2)1(4)2(2)1(4)2(2)1(4μμλμλμμλμλμμλμλμ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-++11121312n J n J n n u u u u = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++--++--++--)1(422)1(422)1(422)1(4μμλμλμμλμλμμλμλμ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--n J nJ n n u u u u 1232 + ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++++))(2(00))(2(1111n J n J n n u u u u μλμλ （9）设 =A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--++--++--+)1(4)2(2)1(4)2(2)1(4)2(2)1(4μμλμλμμλμλμμλμλμ ， =B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++--++--++--)1(422)1(422)1(422)1(4μμλμλμμλμλμμλμλμ， =n U ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--n J nJ n nu u u u 1232 ， =F ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++++))(2(00))(2(1111n J n J n n u u u u μλμλ 则有F BU AU n n +=+1下面讨论Crank-Nicolson 型格式的截断误差和精度。