一维稳态对流扩散方程稳定性条件的推导
姓名：
班级：硕5015
学号：
2015/12/15
证明：
一维稳态对流扩散方程：
22u x x
φφρ∂∂=Γ∂∂
采用控制容积积分法，对上图P 控制的容积作积分，取分段线性型线，对均分网格可得下列离散方程：
()()()()()()()()11112222e w e w P E W e w e w w w e e u u u u x x x x φρρφρφρδδδδ⎡⎤⎡⎤⎡⎤ΓΓΓΓ+-+=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦记：()()()()1122e w P e w w
e a u u x x ρρδδΓΓ=+-+ ()()12
e E e e a u x ρδΓ=- ()()12w W w w a u x ρδΓ=
+ 定义通过界面的流量u ρ记为F ,界面上单位面积扩散阻力的倒数x
δΓ记为D ,则原式简化为：
P P E E W W a a a φφφ=+ 12
E e e a D
F =- 12
W w w a D F =+ ()P E W e w a a a F F =++-
令 u x F Pe D ρδ==Γ 则
1111222
E W P Pe Pe φφφ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
当Pe 大于2以后，数值解出现了异常；P φ小于其左右邻点之值，在无源项情
况下是不可能的。

因为当2Pe >时系数12
E e e a D
F =-小于零，即右边点的通过对流及扩散作用对中间点所产生的影响是负的，这会导致物理上产生不真实的解，所以2u x Pe ρδ=≤Γ
证毕。