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全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】

希望杯第一届(1990年)初中二年级第一试试题一、选择题:(每题1分,共10分)1.一个角等于它的余角的5倍,那么这个角是 ( )A .45°.B .75°.C .55°.D .65°2.2的平方的平方根是 ( )A .2.B .2. C .±2. D .43.当x=1时,a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A .0B .a 0.C .a 1D .a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A .∠A >∠C >∠B;B .∠C >∠B >∠A;C .∠B >∠A >∠C;D .∠C >∠A >∠B 5.平面上有4条直线,它们的交点最多有( ) A .4个B .5个.C .6个.D .76.725-的立方根是[ ](A )12-. (B )21-.(C ))12(-±. (D )12+. 7.把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8.如图1在△ABC 中,AB=BC=CA ,且AD=BE=CF ,但D ,E ,F 不是AB ,BC ,CA 的中点.又AE ,BF ,CD 分别交于M ,N ,P ,如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形,那么从图中能找出全等三角形( ) A .2组B .3组.C .4组D .5组。

9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值, 则这个值是( ) A .0.B .1.C .2.D .4.把f 1990化简后,等于 ( ) A .1-x x . B.1-x. C.x1. D.x.二、填空题(每题1分,共10分) 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4.如图2,∠A=60°,∠1=∠2,则∠ABC 的度数是______.5.如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度. 6.△ABC 中,∠C=90°,∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点,则∠AOB 的度数是______度.7.计算下面的图形的面积(长度单位都是厘米)(见图4).答:______. 8.方程x 2+px+q=0,当p >0,q <0时,它的正根的个数是______个. 9.x ,y ,z 适合方程组826532113533451x y z x z x yx y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______.10.已知3x 2+4x-7=0,则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______.答案与提示一、选择题提示:1.因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°.故选(B).2.因为2的平方是4,4的平方根有2个,就是±2.故选(C).3.以x=1代入,得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0.故选(A).<3,根据大边对大角,有∠C>∠B>∠A.5.如图5,数一数即得.又因原式中有一个负号.所以也不可能是(D),只能选(A).7.∵a<0,故选(C).8.有△ABE,△ABM,△ADP,△ABF,△AMF等五种类型.选(D).9.题目说是一个固定的值,就是说:不论x,y取何值,原式的值不变.于是以x=y=0代入,得:故选(B).故选(A).二、填空题提示:4.∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC 的度数是120度. 5.∠COD 度数的一半是30度.8.∵Δ=p 2-4q >p 2.9.方程组可化简为:解得: x=1,y=-1,z=0. ∴1989x-y+25z=1990.10.∵6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=(3x 2+4x-7)(2x 2+x+1)而3x 2+4x-7=0.希望杯第一届(1990)第二试试题一、选择题:(每题1分,共5分)1.等腰三角形周长是24cm ,一腰中线将周长分成5∶3的两部分,那么这个三角形的底边长是[ ] A .7.5B .12.C .4.D .12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯,那么P 的值是[ ] A .1987B .1988.C .1989D .19903.a >b >c ,x >y >z ,M=ax+by+cz ,N=az+by+cx ,P=ay+bz+cx ,Q=az+bx+cy ,则[ ] A .M >P >N 且M >Q >N. B .N >P >M 且N >Q >MC .P >M >Q 且P >N >Q.D .Q >M >P 且Q >N >P4.凸四边形ABCD 中,∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ] A .30°B .45°.C .60°.D .不能确定5.把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分,使得在其中的一部分内存在三个点,以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形,满足上述性质的分割[ ]A .是不存在的.B .恰有一种.C .有有限多种,但不只是一种.D .有无穷多种 二、填空题:(每题1分,共5分)1. △ABC 中,∠CAB ∠B=90°,∠C 的平分线与AB 交于L ,∠C 的外角平分线与BA的延长线交于N .已知CL=3,则CN=______. 2. 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____.3. 已知a ,b ,c 满足a+b+c=0,abc=8,则c 的取值范围是______.4. ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中,这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______.5. 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:(每题5分,共15分)1.从自然数1,2,3…,354中任取178个数,试证:其中必有两个数,它们的差是177.2.平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A 'B 'C 'D ',且正方形A 'B 'C 'D '的顶点A '在正方形ABCD 的中心.当正方形A 'B 'C 'D '绕A '转动时,两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值.这个结论对吗?证明你的判断.3.用1,9,9,0四个数码组成的所有可能的四位数中,每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1,将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1<n2<n3<n4……,试求:n1·n2之值.答案与提示一、选择题提示:1.若底边长为12.则其他二边之和也是12,矛盾.故不可能是(B)或(D).又:底为4时,腰长是10.符合题意.故选(C).=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883.只需选a=1,b=0,c=-1,x=1,y=0,z=-1代入,由于这时M=2,N=-2,P=-1,Q=-1.从而选(A).4.由图6可知:当∠BDA=60°时,∠CDB5.如图7按同心圆分成面积相等的四部分.在最外面一部分中显然可以找到三个点,组成边长大于1的正三角形.如果三个圆换成任意的封闭曲线,只要符合分成的四部分面积相等,那么最外面部分中,仍然可以找到三个点,使得组成边长大于1的正三角形.故选(D).二、填空题提示:1.如图8:∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N.∴NC=LC=3.5.当a,b,c均为正时,值为7.当a,b,c不均为正时,值为-1.三、解答题1.证法一把1到354的自然数分成177个组:(1,178),(2,179),(3,180),…,(177,354).这样的组中,任一组内的两个数之差为177.从1~354中任取178个数,即是从这177个组中取出178个数,因而至少有两个数出自同一个组.也即至少有两个数之差是177.从而证明了任取的178个数中,必有两个数,它们的差是177.证法二从1到354的自然数中,任取178个数.由于任何数被177除,余数只能是0,1,2,…,176这177种之一.因而178个数中,至少有两个数a,b的余数相同,也即至少有两个数a,b之差是177的倍数,即a b=k×177.又因1~354中,任两数之差小于2×177=354.所以两个不相等的数a,b之差必为177.即a b=177.∴从自然数1,2,3,…,354中任取178个数,其中必有两个数,它们的差是177.2.如图9,重合部分面积S A'EBF是一个定值.证明:连A'B,A'C,由A'为正方形ABCD的中心,知∠A'BE=∠A'CF=45°.又,当A'B'与A'B重合时,必有A'D'与A'C重合,故知∠EA'B=∠FA'C.在△A'FC和△A'EB中,∴S A'EBF=S△A'BC.∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值.3.可能的四位数有9种:1990,1909,1099,9091,9109,9910,9901,9019,9190.其中 1990=7×284+2,1909=7×272+5.1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5,9901=7×1414+3,9019=7×1288+3,9190=7×1312+6.即它们被7除的余数分别为2,5,0,5,2,5,3,3,6.即余数只有0,2,3,5,6五种.它们加1,2,3都可能有余1的情形出现.如0+1≡1,6+2≡1,5+3≡(mod7).而加4之后成为:4,6,7,9,10,没有一个被7除余1,所以4是最小的n.又:加5,6有:5+3≡1,6+2≡1.(mod7)而加7之后成为7,9,10,12,13.没有一个被7除余1.所以7是次小的n.即 n1=4,n2=7∴ n1×n2=4×7=28.第二届(1991年)初中二年级第一试试题一、选择题:(每题1分,共15分)1.如图1,已知AB=8,AP=5,OB=6,则OP的长是[ ]A.2; B.3; C.4; D.52.方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]A.1,6 ; B.2,3; C.2,3; D.1,63.已知△ABC是等腰三角形,则[ ]A.AB=AC;B.AB=BC;C.AB=AC或AB=BC;D.AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A.a>b>c B.a=b=c C.a=c>b D.a=b>c5.若a≠b,则[ ]6.已知x,y都是正整数,那么三边是x,y和10的三角形有[ ]A.3个B.4个; C.5个D.无数多个7.两条直线相交所成的各角中,[ ]A.必有一个钝角;B.必有一个锐角;C.必有一个不是钝角;D.必有两个锐角8.已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补,则这两个角 [ ]A.一个是锐角另一个是钝角;B.都是钝角;C.都是直角;D.必有一个角是直角9.方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根.A.4; B.2; C.1; D.010.一个两位数,用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2,仍得原数,这个两位数是[ ]A.26; B.28; C.36; D.3811.若11个连续奇数的和是1991,把这些数按大小顺序排列起来,第六个数是[ ] A.179; B.181; C.183; D.18512.1,>+等于[ ]A.2x+5 B.2x-5; C.1 D.113.方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14.当a<-1时,方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]A.两负根;B.一正根、一负根且负根的绝对值大(1)BOC .一正根、一负根且负根的绝对值小;D .没有实数根15.甲乙二人,从M 地同时出发去N 地.甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走,另一半时间以每小时b 公里的速度行走;乙以每小时a 公里的速度行走一半路程,另一半路程以每小时b 公里的速度行走.若a ≠b 时,则[ ]到达N 地. A . 二人同时; B .甲先;C .乙先;D .若a >b 时,甲先到达,若a <b 时,乙先 二、填空题:(每题1分,共15分)1.一个角的补角减去这个角的余角,所得的角等于______度. 2.有理化分母=______________.3.0x =的解是x=________. 4.分解因式:x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______.5.若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数,则k 的值是______.6.如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7.方程x 2-y 2=1991有______个整数解.8.当m______时,方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根.9.如图2,在直角△ABC 中,AD 平分∠A ,且BD ∶DC=2∶1,则∠B 等于______度.CBAFFEDCBA(2) (3) (4)10.如图3,在圆上有7个点,A ,B ,C ,D ,E ,F ,和G ,连结每两个点的线段共可作出__条. 11.D ,E 分别是等边△ABC 两边AB ,AC 上的点,且AD=CE ,BE 与CD 交于F ,则∠BFC 等于__度. 12.如图4,△ABC 中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD 是△ABC 的中线,AE 是△ABD 的角平分线,DF ∥AB 交AE 延长线于F ,则DF 的长为______.13.在△ABC 中,AB=5,AC=9,则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______.14.等腰三角形的一腰上的高为10cm ,这条高与底边的夹角为45°,则这个三角形的面积是______.15.已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根,p ,q 是自然数,且是质数,这个方程的根是______.答案与提示一、选择题提示:1.∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3.∴选(B).2.∵以2,3代入方程,适合.故选(B).3.∵有两条边相等的三角形是等腰三角形.∴选(D).4.∵a=1,b=-1,c=1.∴选(C).6.∵x=y>5的任何正整数,都可以和10作为三角形的三条边.∴选(D).7.两直线相交所成角可以是直角,故而(A),(D)均不能成立.∴选(C).8.设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°.故选(D).9.∵不论x为何实数,x2+|x|+1总是大于零的.∴选(D).即7a=2b+2,可见a只能为偶数,b+1是7的倍数.故取(A).11.设这11个连续奇数为:2n+1,2n+3,2n+5,…,2n+21.则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991.即 11(2n+11)=1991.解得n=85.∴第六个数是2×85+11=181.故选(B).∴选(A).13.原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0.即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0.即 x4-10x2+1=0.故取(C).14.a<-1时,a3+1<0,a2+1>0,a+1<0.而若方程的两根为x1,x2,则有15.设M,N两地距离为S,甲需时间t1,乙需时间t2,则有∴t1<t2,即甲先.另外:设a=1,b=2,则甲走6小时,共走了9公里,这时乙走的时间为从这个计算中,可以看到,a,b的值互换,不影响结果.故取(B).二、填空题提示:1.设所求角为α,则有(180°-α)-(90°-α)=90°.4.x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5.设二根为x1,-x1,则x1+(-x1)=-(k2-9).即k2-9=0.即k=±3.又,要有实数根,必须有△≥0.即 (k2-9)2-4(k+2)>0.显然 k=3不适合上面的不等式,∴k=-3.6.由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式,故由x=1代入,得c=-2;x2项的系数相等,有a=2,这时再以x=0代入,得-1=a-b+c.即b=1.7.x2-y2=1991,(x-y)(y+x)=11×181可以是9.BD∶DC=2∶1,故有AB∶AC=2∶1,直角三角形斜边与直角边之比为2∶1,则有∠B=30°.10.从A出发可连6条,从B出发可连5条,(因为BA就是AB),从C出发可连4条,…,从F出发可连一条.共计1+2+3+4+5+6=21(条).另法:每个点出发均可连6条,共有42条.但每条都重复过一次,11.如图28.∠F=∠1+∠A+∠2.又:△ADC≌△CEB.∴∠1=∠3.∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°.12.△ABC是等腰三角形,D为底边的中点,故AD又是垂线,又是分角线,故∠BAD=60°,∠ADB=90°.又:AE是分角线,故∠DAE=∠EAB=30°.又:DF∥AB,∴∠F=∠BAE=30°.在△ADF中,∠DAF=∠F=30°.∴AD=DF.而在△ADB中,AB=9,∠B=30°.13.∵4<BC<14.∴当BC为4时,BD=CD=2,AD<7.当BC=14时,BC=CD=7,有AD>2.∴2<AD<7.14.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°,则顶角是90°,高就是腰,其长为10cm.15.设两根为x1,x2.则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①,②可知,x1,x2均为负整数.q为质数,若q为奇数,则x1,x2均为奇数.从而p为偶数,而偶质数只有2,两个负整数之和为-2,且不相等,这是不可能的.若q为偶数(只能是2),两个负整数之积为2,且不相等,只能是-1和-2.∴方程的根是-1和-2.希望杯第二届(1991年)初中二年级第二试试题一、选择题:(每题1分,共10分)1.如图29,已知B是线段AC上的一点,M是线段AB的中点,N为线段AC的中点,P为NA的中点,Q为MA的中点,则MN∶PQ等于( )A.1 ; B.2; C.3; D.42.两个正数m,n的比是t(t>1).若m+n=s,则m,n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4.(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,则a ,b ,c 的关系可以写成( ) A .a <b <c. B .(a-b)2+(b-c)2=0. C .c <a <b. D .a=b ≠c 5.如图30,AC=CD=DA=BC=DE .则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A .4倍.B .3倍.C .2倍.D .1倍6.D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点,则AD ,BD ,CD 满足关系式( ) A.AD 2=BD 2+CD 2. B .AD 2>BD 2+CD 2. C .2AD 2=BD 2+CD 2. D .2AD 2>BD 2+CD 2 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A .4 B .3. C .2 D .18.能使分式33x y y x-的值为x 2、y 2的值是( )A.x 2,y 22y 2;C. x 2,y 2; D. x 2y 2.9.在整数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中,设质数的个数为x ,偶数的个数为y ,完全平方数的个数为z ,合数的个数为u .则x+y+z+u 的值为 ( ) A .17B .15.C .13D .1110.两个质数a ,b ,恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题(每题1分,共10分)1.1989×19911991-1991×19891988=______.2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______.3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______.4.边数为a ,b ,c 的三个正多边形,若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7.如图31,在四边形ABCD 中.AB=6厘米,BC=8厘米,CD=24厘米,DA=26厘米.且∠ABC=90°,则四边形ABCD 的面积是______. 8.如图32,∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______. 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10.已知两数积ab ≠1.且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,则ab=______. 三、解答题:(每题5分,共10分,要求:写出完整的推理、计算过程,语言力求简明,字迹与绘图力求清晰、工整)1. 已知两个正数的立方和是最小的质数.求证:这两个数之和不大于2.2.一块四边形的地(如图33)(EO ∥FK ,OH ∥KG)内有一段曲折的水渠,现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的.(即两边都是直线)但进水口EF 的宽度不能改变,新渠占地面积与原水渠面积相等,且要尽可能利用原水渠,以节省工时.那么新渠的两条边应当怎么作?写出作法,并加以证明.答案与提示一、选择题提示:3.由y>0,可知x<0.故选(C).4.容易看到a=b=c时,原式成为3(x+a)2,是完全平方式.故选(B).5.△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A).6.以等边三角形为例,当D为BC边上的中点时,有AD2>BD2+CD2,当D为BC边的端点时,有AD2=BD2+CD2,故有2AD2>BD2+CD2.故选(D).故选(C).∴选(C).9.∵x=4,y=5,z=4,u=4.∴选(A).10.由a+b=21,a,b质数可知a,b必为2与19两数.二、填空题提示:1.1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991.2.原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c).3.原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c).4.正多边形中,最小内角为60°,只有a,b,c均为3时,所取的内角和才可能为180°.5.两式相加有(1+a)y=6,因为a,y均为正整数,故a的可能值为5,这时y=1,这与y-x=1矛盾,舍去;可能值还有a=2,a=1,这时y=2,y=3与y-x=1无矛盾.∴a=1或2.7.在直角三角形ABC中,由勾股定理可知AC=10cm,在△ADC中,三边长分别是10,24,26,由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形.从而有面积为8.∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6,正好是以∠2,∠3,∠5为3个内角的四边形的4个内角之和.∴和为360°.10.由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根,b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根,后者还可以看成:三、解答题1.设这两个正数为a,b.则原题成为已知a3+b3=2,求证a+b≤2.证明(反证法):若a+b>2由于a3+b3=2,必有一数小于或等于1,设为b≤1,→a>2b,这个不等式两边均为正数,→a3>(2-b)3.→a3>8-12b+6b2-b3.→a3+b3>8-12b+6b2.→6b2-12b+6<0.→b2-2b+1<0.→(b-1)2<0.矛盾.∴a+b≤2.即本题的结论是正确的.2.本题以图33为准.由图34知OK∥AB,延长EO和FK,即得所求新渠.这时,HG=GM(都等于OK),且OK ∥AB,故△OHG的面积和△KGM的面积相同.即新渠占地面积与原渠面积相等.而且只挖了△KGM这么大的一块地.我们再看另一种方法,如图35.作法:①连结EH,FG.②过O作EH平行线交AB于N,过K作FG平行线交于AB于M.③连结EN和FM,则EN,FM就是新渠的两条边界线.又:EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积.从而可知左半部分挖去和填出的地一样多,同理,右半部分挖去和填出的地也一样多.即新渠面积与原渠的面积相等.由图35可知,第二种作法用工较多(∵要挖的面积较大).故应选第一种方法。

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