2、对一个带限为3f kHz ≤的连续时间信号采样构成一离散信号，为了保证从此离散信号中能恢复出原信号，每秒钟理论上的最小采样数为多少？如将此离散信号恢复为原信号，则所用的增益为1，延迟为0的理想低通滤波器的截止频率该为多少？答：由奈奎斯特采样定理，采样频率必须大于两倍的信号最高频率，236s f kHz kHz >⨯=每秒钟理论上得最小采样数为6000。

如将此离散信号恢复为原信号，为避免混淆，理想低通滤波器的截止频率为采样频率的一半，即32skHz Ω=。

3、有限频带信号11()52cos(2)cos(4)f t f t f t ππ=++，式中，11f kHz =。

用5s f kHz =的冲激函数序列()T t δ进行取样。

（1）画出()f t 及采样信号()s f t 在频率区间(10,10)kHz kHz -的频谱图。

（2）若由()s f t 恢复原信号，理想低通滤波器的截止频率c f 。

解：（1）()f t 在频率区间(10,10)kHz kHz -的频谱图/kHz-10 0 1 2 10()s f t 在频率区间(10,10)kHz kHz -的频0谱图（2）25002s c f f Hz ≥=4、有一连续正弦信号cos(2)ft πϕ+，其中20f Hz =，6πϕ=。

（1）求其周期0T ；（2）在t nT =时刻对其采样，0.02T s =，写出采样序列()x n 的表达式； （3）求()x n 的周期N 。

解：（1）0110.0520T s f === （2）在t nT =时刻，4()cos(2)cos(2200.02)cos()656x n f nT n n πππϕππ=+=⨯+=+（3）25425ππ=，所以5N =。

5、设线性时不变系统的单位脉冲响应()h n 和输入()x n 分别有以下两种情况，分别求输出()y n 。

（1）()()h n u n =，()()2(1)(2)x n n n n δδδ=+-+-（2）()()n h n u n α=，01α<<，()()n x n u n β=，01β<<，βα≠。

解：（1）-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4当0n <时，()0y n =； 当0n =时，(0)111y =⨯=； 当1n =时，(1)11213y =⨯+⨯=； 当2n ≥时，()1121114y n =⨯+⨯+⨯=；0, 01, 0()3, 14, 2n n y n n n <⎧⎪=⎪∴=⎨=⎪⎪≥⎩（2）当0n <时，1()()*()()()()()()m m m y n x n h n x m h n m x m h n m x m ∞-∞=-∞=-∞===-=-+∑∑∑。

当0n ≥时，1110()()*()()()m m mn n nnm y n x n h n x m h n m xβαβαααβ∞-=-∞=-∞++===-=-⎛⎫==⎪-⎝⎭∑∑∑6、判断下列各系统的线性和时不变性。

（1）()2()3y n x n =+ （2）2()()sin()76y n x n n ππ=+（3）2()()y n x n = （4）()()m y n x m +∞=-∞=∑解：（1）111()[()]2()3y n T x n x n ==+222()[()]2()3y n T x n x n ==+ 1212[()()]2[()()]3T x n x n x n xn +=++ 1212[()][()][()()]T x n T x n T x n x n +≠+，所以该系统为非线性系统。

[()]2()3()T x n m x n m y n m -=-+=-，所以该系统为时不变系统。

（2）1112()[()]()sin()76y n T x n x n n ππ==+2222()[()]()s i n ()76y n T x n x n n ππ==+1212122[()()][()()]sin()[()][()]76T ax n bx n ax n bx n n aT x n bT x n ππ+=++=+ ，所以该系统为线性。

2[()]()sin()76T x n m x n m n ππ-=-+2()()sin(())[()]76y n m x n m n m T x n m ππ-=--+≠- ，所以该系统为时变系统。

（3）211()()y n x n =，222()()y n x n =，2121212[()()]()()[()][()]T x n x n x n x n T x n T x n +=+≠+，该系统为非线性。

2[()]()()T x n m x n m y n m -=-=-，所以该系统为时不变系统。

（4）11()()m y n x m +∞=-∞=∑，22()()m y n x m +∞=-∞=∑，12121212[()()][()()]()()[()][()]m m m T ax n bx n ax n bx n ax n bx n T ax n T bx n +∞+∞+∞=-∞=-∞=-∞+=+=+=+∑∑∑，该系统为线性系统。

[()]()()m T x n m x n m y n m +∞=-∞-=-=-∑，所以该系统为时不变系统。

7、判断下列各系统是否为：（1）稳定系统；（2）因果系统；（3线性系统。

并说明理由。

（1）[()]()()T x n g n x n =；这里()g n 有界 （2）[()]()nk n T x n x k ==∑（3）00[()]()n n k n n T x n x k +=-=∑（4）0[()]()T x n x n n =-（5）()[()]x n T x n e = （6）[()]()T x n ax n b =+解：（1）设()()g n g m ≤，()x n M≤，()()()()()g n x n g m x n g m M ≤≤≤+∞所以该系统为稳定系统。

[()]()()T x n g n x n =，该系统的输出只取决于现在的输入，与未来的输入无关，所以是因果系统。

11[()]()()T x n g n x n =，22[()]()()T x n g n x n =，12121212[()()]()[()()]()()()()[()][()]T ax n bx n g n ax n bx n ag n x n bg n x n T ax n T bx n +=+=+=+，所以该系统是线性系统。

（2）[()]()nk n T x n x k ==∑，00n <时系统的输出不只与过去的输入有关，还与未来的输入有关，系统是非因果系统。

00n >时，系统是因果系统。

设()x n M≤，lim()lim()nn n k n x k n n M →∞→∞=≤-=∞∑，所以系统为不稳定系统。

11[()]()nk n T x n x k ==∑，22[()]()nk n T x n x k ==∑，12121212[()()][()()]()()[()][()]nnnk n k n k n T ax n bx n ax k bx k ax k bx k T ax n T bx n ===+=+=+=+∑∑∑，所以系统为线性系统。

（3）00[()]()n n k n n T x n x k +=-=∑，0n ≠时系统的输出不仅与过去和现在的输入有关，还与未来的输入有关，系统不是因果系统。

()x n M ≤，0()2n n k n n x k n M +=-≤<+∞∑，所以系统是稳定的。

12121212[()()][()()]()()[()][()]n n nk n k n k n T ax n bx n ax k bx k ax k bx k T ax n T bx n ===+=+=+=+∑∑∑，所以系统是线性系统。

（4）0[()]()T x n x n n =-，00n <时系统的输出不只与过去的输入有关，还与未来的输入有关，系统是非因果系统。

00n ≥时，系统是因果系统。

设()x n M ≤，0()x n n M -≤<+∞，所以系统是稳定的。

12102012[()()]()()[()][()]T ax n bx n ax n n bx n n T ax n T bx n +=-+-=+，所以系统是线性系统。

（5）()[()]x n T x n e =，系统地输入只与现在的输入有关，与未来的输入无关，所以系统是因果系统。

设()x n M ≤，()x n M e e ≤<+∞，所以系统是稳定的，12()()12[()][()]x n x n T x n T x n e e +=+，1212()()()()1212[()()][()][()]x n x n x n x n T x n x n e e e T x n T x n ++==≠+ ，所以系统不是线性系统。

（6）设()()x n x m ≤，()()()()y n ax n b a x n b ax m b =+≤+=+<+∞，所以系统是稳定的。

[()]()T x n ax n b =+，系统地输出只与现在的输入有关，与未来的输入无关，所以系统是因果系统。

121212[()][()]()()[()()]T x n T x n ax n b ax n b a x n x n b +=+++=++121212[()()][()()][()][()]T x n x n a x n x n b T x n T x n +=++≠+，所以系统不是线性系统。

8、讨论已输入为()x n 和输出为()y n 的系统，系统的输入输出关系有以下两个性质确定： ○1 ()(1)()y n ay n x n --= ○2 (0)1y = 试问：（1） 判断该系统是否为时不变的； （2） 判断该系统是否为线性的；（3） 假设差分方程保持不变，但规定(0)y 值为0，（1）和（2）的答案是否改变？ 解：（1）(0)1y =(1)(1)y x a =+2(2)(2)(1)y x a x a =++23(3)(3)(2)(1)y x ax a x a =+++()()(1)n m y n m x n m ax n m a --=-+--++2()()(1)(2)n y n x n ax n a x n a =+-+-++[()]()(1)n T x n m x n m ax n m a -=-+--++ ，两者不相等，所以该系统为时变系统。