另：()y x u u ,=，()y x v v ,=，⎩⎨
⎧==ϕ
ρϕρsin ,cos y x
ϕ
ϕρ
ρ
ρ
sin cos y
u x
u y y u x x u u ∂∂+
∂∂=
∂∂∂∂+
∂∂∂∂=
∂∂
ρ
ϕϕϕϕϕρϕρρϕϕρϕ
ρ∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂-
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=
∂∂u x u y u y v x
v y
v x v y y v x x v v
cos sin cos sin cos )sin (111 ϕ
ϕρ
ρ
ρ
sin cos y
v x
v y y v x x v v ∂∂+
∂∂=
∂∂∂∂+
∂∂∂∂=
∂∂
ρ
ϕϕϕϕϕρϕρρϕϕρϕ
ρ∂∂-
=∂∂-
∂∂-
=∂∂+
∂∂-
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=
∂∂v x
v y v y
u x
u y
u x u y y u x x u u
cos sin cos sin cos )sin (111
所以，有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ρϕρϕρρv u v u 11 第18页
第2题
第27页 指出下列多值函数的支点及其阶。

（1）
)
(a z -
解：根式的可能支点是∞点和根式内多项式的零点，现在来逐个考察这些点的性质。

①
a
z =：在此点的邻域内任取一点
1
11φρi e
a z +=（11
<<ρ），则有
2
11)(φ
φ
ρρi
i e
e
a z =
=
-
当保持
1ρ不变 π
φφ211+→（绕
a
z =一周）时，有
2
12
12
21)(φ
π
φ
π
φρρρi
i
i
e e
e
a z ≠
=
=
-++，
当保持
1ρ不变 π
φπφ4211+→+（再绕
a
z =一周）时，有
2
122
12
221)(φ
π
φ
π
πφρρρi
i i
e
e
e
a z =
=
=
-+++，
因此
a
z =是一阶支点。

②
∞=z ：令t
z 1=
，
t
at a z -=
-1)(，在0=t
邻域内任取一点222φρi e z =，（12<<ρ），
2
2222
2
2
1
11)(φφφρρρi
i i e
e e
a t
at a z -≈
-=
-=
-
当t 绕0=t 一周回到原点时，
2
22
2
2
2
1
1
φπ
φρρi
i
e
e
-+-≠
当t 再绕0=t
一周回到原点时，
2
2
2
2
2
2
1
1
φπ
πφρρi
i
e
e
-++-=
因此0=t
即∞=z 是)
(a z -的一阶支点。

（4）)
ln(a z -
解：对数函数的可能支点是∞点和函数宗量的零点，现在来逐个考察这些点的性质。

①
a
z =：在此点的邻域内任取一点
1
11φρi e
a z +=（11
<<ρ）
，则有 11ln )ln(φρi a z +=-
当保持
1ρ不变 π
φφ211+→（绕
a
z =一周）时，有
111111ln 2ln )2(ln )ln(φρπφρπφρi i i i a z +≠++=++=-
当保持
1ρ不变 π
φπφ4211+→+（再绕
a
z =一周）时，有
111111ln 4ln )22(ln )ln(φρπφρππφρi i i i a z +≠++=+++=-
因此，a
z =是无穷阶支点。

②
∞=z ：令t z 1=，
)1ln(
)ln(t
at a z -=-，在0=t
邻域内任取一点2
22φρi e z =，（1
2
<<ρ），
t
t
t
at ln 1
ln
)1ln(
-=≈-
同①讨论，可知0=t 即∞=z 是)
ln(a z -的无穷阶支点。